2006-陕西卷理-11 单-空间位置关系的分类讨论

本题导读

本题考查空间点、线、面的位置关系及距离特征。核心在于对不共线三点分布在平面同侧或异侧的两种空间几何构型进行完备的分类讨论。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(理)） 已知平面 $\alpha$ 外不共线的三点 $A,B,C$ 到 $\alpha$ 的距离都相等，则正确的结论是()

A. 平面 $ABC$ 必平行于 $\alpha$

B. 平面 $ABC$ 必与 $\alpha$ 相交

C. 平面 $ABC$ 必不垂直于 $\alpha$

D. 存在 $△ABC$ 的一条中位线平行于 $\alpha$ 或在 $\alpha$ 内

🔍【思路分析】

破题导航

构型一：三点在平面 $\alpha$ 的同侧。由于 $A,B,C$ 到 $\alpha$ 的距离都相等，它们确定的平面 $ABC$ 必然平行于 $\alpha$。此时 $△ABC$ 的三条中位线都平行于 $\alpha$。 构型二：三点在平面 $\alpha$ 的异侧。由于三点不共线，必然有两点在同侧，第三点在另一侧。不妨设 $A,B$ 在同侧， $C$ 在另一侧。由于距离相等，线段 $AC$ 和 $BC$ 的中点必定落在平面 $\alpha$ 内，从而连接这两中点的中位线在 $\alpha$ 内。而另一条中位线（平行于 $AB$）则平行于 $\alpha$。 综合结论：无论哪种构型，总能找到一条中位线满足“平行于 $\alpha$ 或在 $\alpha$ 内”。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：设不共线三点 $A,B,C$ 到平面 $\alpha$ 的垂直距离均为 $d$ ($d>0$)。根据三点在平面两侧的分布分布情况，分为以下两类空间构型：

• 情况一： $A,B,C$ 三点位于平面 $\alpha$ 的同侧 因为不共线三点到平面 $\alpha$ 的距离相等，则由面面平行的判定定理可知，这三点所确定的平面 $ABC$ 必然与平面 $\alpha$ 保持平行，即平面 $ABC\parallel \alpha$。 此时， $△ABC$ 的三条中位线均平行于平面 $ABC$ 内的对应边，因而这三条中位线全部平行于平面 $\alpha$。

• 情况二： $A,B,C$ 三点位于平面 $\alpha$ 的两侧（异侧） 由于只有三个点且不共线，根据抽屉原理，必然有两点位于平面的同一侧，第三个点位于平面的另一侧。 不妨设 $A,B$ 位于平面 $\alpha$ 的上方， $C$ 位于平面 $\alpha$ 的下方。 因为 $A,C$ 到平面 $\alpha$ 的距离均为 $d$，根据相似三角形的性质，线段 $AC$ 与平面 $\alpha$ 的交点必为 $AC$ 的中点 $D$。 同理，线段 $BC$ 与平面 $\alpha$ 的交点必为 $BC$ 的中点 $E$。 因此， $△ABC$ 的中位线 $DE$ 上的所有点都在平面 $\alpha$ 内，即中位线 $DE$ 在平面 $\alpha$ 内。 此时，平面 $ABC$ 与平面 $\alpha$ 相交于交线 $DE$。由于侧面有可能垂直底面，故不能排除垂直的可能性。

综合上述两种空间位置可能，(A) 和 (B) 均只对应了其中一种情况，属于不全面结论；(C) 无法完全排除垂直；而对于 (D) 选项，在情况一中中位线“平行于 $\alpha$”，在情况二中中位线“在 $\alpha$ 内”，其表述“存在 $△ABC$ 的一条中位线平行于 $\alpha$ 或在 $\alpha$ 内”在两种情况下均严格成立。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：空间点面距离模型、空间线面平行的判定、空间位置关系分类分类思想。
• 核心方法：模型分类讨论法。
• 避坑指南：
• 极其容易漏掉“异侧”的空间构型，想当然地认为距离相等就是面面平行，从而误选 A。
• 牢记空间多点距离相等问题中，“同侧成平行，异侧过中点”的核心几何几何常识。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是立体几何中考查空间想象力与位置关系完备分类能力的一道非常经典的定性判定选择题。 结论推广: 若空间不共线的 $n$ 个点到平面 $\alpha$ 的距离均相等，则这 $n$ 个点所构成的多面体（或多边形）中，连接同侧点与异侧点所成线段的所有中点，均无一例外地严格落在平面 $\alpha$ 内。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2007-天津文-06 单-空间位置关系命题
• 2007-江苏卷-04 单-空间位置关系命题