2006-陕西卷理-10 单-函数自变量离散点对称性比较

本题导读

本题考查二次函数的性质与最值大小判定。核心在于精确求出二次函数的对称轴，并比较两个自变量离散点 $x_1,x_2$ 到对称轴的距离（轴距），从而利用二次函数的单调对称性得出函数值的大小关系。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(理)） 已知函数 $f(x)=a{x}^2+2ax+4$ ($0<a<3$). 若 $x_1<x_2,x_1+x_2=1-a$，则()

A. $f(x_1)<f(x_2)$　　　　　　B. $f(x_1)=f(x_2)$

C. $f(x_1)>f(x_2)$　　　　　　D. $f(x_1)$ 与 $f(x_2)$ 的大小不能确定

🔍【思路分析】

破题导航

分析二次函数的几何性质：由 $f(x)=a{x}^2+2ax+4$ 且 $a>0$，可知该二次函数抛物线开口向上。其对称轴方程为 $x_0=-\frac{2a}{2a}=-1$。 构建离散中点：已知 $x_1+x_2=1-a$，则 $x_1$ 和 $x_2$ 的中点坐标为 $x_{\text{中}}=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{1-a}{2}$。 轴距法判定大小：由于开口向上的抛物线关于 $x=-1$ 对称，自变量距离对称轴越远，对应的函数值 $f(x)$ 越大。只需比较中点 $x_{\text{中}}$ 与对称轴 $x_0=-1$ 的相对位置。若 $x_{\text{中}}>-1$，结合 $x_1<x_2$，可分析出右侧点 $x_2$ 离对称轴更远，从而 $f(x_2)>f(x_1)$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：对于二次函数 $f(x)=a{x}^2+2ax+4$， 因为已知条件给定 $0<a<3⟹a>0$，所以该二次函数抛物线开口严格向上。 利用对称轴公式求得该抛物线的对称轴方程为： $x_0=-\frac{2a}{2a}=-1$

设线段 $x_1{x}_2$ 的中点为 $x_{\text{中}}$，根据中点坐标公式： $x_{\text{中}}=\frac{x_1+x_2}{2}$ 将已知条件 $x_1+x_2=1-a$ 代入上式中： $x_{\text{中}}=\frac{1-a}{2}$

下面比较中点 $x_{\text{中}}$ 与对称轴 $x_0=-1$ 的代数大小关系，作差化简： $x_{\text{中}}-x_0=\frac{1-a}{2}-(-1)=\frac{1-a}{2}+1=\frac{1-a+2}{2}=\frac{3-a}{2}$ 因为已知条件规定 $0<a<3⟹3-a>0$，所以： $x_{\text{中}}-x_0>0⟹x_{\text{中}}>x_0=-1$ 这表明线段 $x_1{x}_2$ 的中点完全位于对称轴 $x=-1$ 的右侧。

因为抛物线开口向上，在对称轴右侧（即 $(-1,+\infty )$ 上）函数单调递增。 已知 $x_1<x_2$，且中点 $x_{\text{中}}=\frac{x_1+x_2}{2}>-1$，说明： 点 $x_2$ 必定位于对称轴的右侧单调递增区间内，且点 $x_2$ 到对称轴 $x=-1$ 的垂直距离 $|x_2-(-1)|$ 必然大于点 $x_1$ 到对称轴的距离 $|x_1-(-1)|$。 根据开口向上二次函数的性质——“离对称轴越远，对应的函数值越大”： 因为 $x_2$ 偏离对称轴更远，所以其函数值必然更大： $f(x_2)>f(x_1)⟹f(x_1)<f(x_2)$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二次函数对称轴公式、抛物线单调递增/递减与轴距远近的映射规律。
• 核心方法：中点轴距比较法。
• 避坑指南：
• 很多考生拿到此题后，习惯于采用代数强算行法：把 $x_2=1-a-x_1$ 强行代入函数解析式去算 $f(x_1)-f(x_2)$ 的差值。这种做法在没有具体数值的情况下展开项极多，属于高危丢分路径。
• 牢记二次函数值大小比较的几何本质就是比“谁离对称轴更远”。利用中点与对称轴的相对位置（$x_{\text{中}}>x_0$）可以瞬间判定偏向，秒杀答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查二次函数核心几何轴对称特征的高端压轴选择题，旨在通过引入参数 $a$ 动态控制中点边界，考查数形结合思维的逻辑严密性。 结论推广: 对于任意开口向上的二次函数， 若对称轴为 $x=x_0$，给定两点满足 $x_1<x_2$。若两点中点 $\frac{x_1+x_2}{2}>x_0$，则恒有 $f(x_1)<f(x_2)$；若两点中点 $\frac{x_1+x_2}{2}<x_0$，则恒有 $f(x_1)>f(x_2)$。此规律在解析几何与导数中项放缩中有广泛的应用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.05 对称性问题
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2010-辽宁文-04 单-量词命题与二次函数最值