2006-陕西卷理-09 单-向量数量积与垂直的关系

本题导读

本题考查平面向量性质与三角形形状判定的综合应用。核心在于深刻理解单位向量和的几何特征（角平分线模型）以及单位向量数量积的代数物理意义。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(理)） 已知非零向量 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 满足 $\left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\right)\cdot \overrightarrow{BC}=0$ 且 $\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}\cdot \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}=\frac{1}{2}$，则 $△ABC$ 为()

A. 三边均不相等的三角形　　　　　　　　　　　　B. 直角三角形

C. 等腰非等边三角形　　　　　　　　　　　　　　D. 等边三角形

🔍【思路分析】

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解读第一个条件：式子 $\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$ 和 $\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$ 分别表示沿 $AB,AC$ 方向的单位向量。根据向量加法的平行四边形法则，两个模相等的向量相加，其和向量的方向恰好是它们夹角的角平分线。而该和向量与边 $\overrightarrow{BC}$ 数量积为 0（即垂直），说明顶角 $A$ 的角平分线垂直于底边 $BC$，由此可推出 $AB=AC$，即三角形为等腰三角形。 解读第二个条件：两个单位向量的数量积等于它们夹角 $\angle A$ 的余弦值： $\cos A=\frac{1}{2}$。由于 $A$ 是三角形内角，可得 $A=60^{\circ }$。 综合判定：一个顶角为 $60^{\circ }$ 的等腰三角形，必然是等边三角形。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：设沿 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 方向的单位向量分别为 ${\vec{e}}_1=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$， ${\vec{e}}_2=\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$。 根据单位向量的定义， 恒有 $|{\vec{e}}_1|=|{\vec{e}}_2|=1$。

第一个条件可重写为： $({\vec{e}}_1+{\vec{e}}_2)\cdot \overrightarrow{BC}=0⟹({\vec{e}}_1+{\vec{e}}_2)\perp \overrightarrow{BC}$ 在几何上，以两个长度相等（均为 1）的邻边向量 ${\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2$ 为邻边构造平行四边形，该四边形必然是菱形。 由于菱形的对角线平分内角，因此和向量 ${\vec{e}}_1+{\vec{e}}_2$ 的方向指向 $\angle BAC$ 的角平分线。 现在已知 $\angle BAC$ 的角平分线垂直于底边 $BC$。根据平面几何定理，顶角平分线与底边高线重合的三角形必然是等腰三角形，即： $AB=AC$

第二个条件可重写为： ${\vec{e}}_1\cdot {\vec{e}}_2=\frac{1}{2}$ 根据向量数量积的定义，两单位向量的点积满足： ${\vec{e}}_1\cdot {\vec{e}}_2=|{\vec{e}}_1|\cdot |{\vec{e}}_2|\cdot \cos \angle BAC=1\times 1\times \cos A=\cos A$ 由此可得： $\cos A=\frac{1}{2}$ 因为 $A$ 为 $△ABC$ 的内角 $⟹A\in (0,\pi )$，解得： $A=60^{\circ }$

综上所述， $△ABC$ 是一个满足 $AB=AC$ 且顶角 $A=60^{\circ }$ 的等腰三角形。 因此，该三角形三个内角均为 $60^{\circ }$，属于典型的等边三角形。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：单位向量的代数表示、菱形对角线平分内角的向量建模（${\vec{e}}_1+{\vec{e}}_2$ 指向角平分线）、数量积定义求内角余弦。
• 核心方法：数形结合几何判定法。
• 避坑指南：有些考生习惯于将 $\overrightarrow{BC}$ 拆项化简为 $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ 展开进行纯代数计算。虽然也可以化简出 $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|$，但缺乏几何直观，且容易在繁琐的向量内积展开中发生符号性颠倒。建立“单位向量和指向角平分线”这一几何直觉可以极快地看穿此类题目的本质。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查平面向量核心工具性应用的经典常规选择题，旨在通过向量符号语言考查高中生对三角形五心及特殊对称性的控制能力。 结论推广: 在平面向量体系中， 向量 $\left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\right)$ 恒表示 $\angle A$ 的内角平分线方向向量；而差向量 $\left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}-\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\right)$ 则恒指向 $\angle A$ 的外角平分线方向。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅰ文-03 单-向量垂直的判定
• 2007-大纲卷I理-03 单-向量垂直坐标判定