2006-陕西卷理-05 单-直线与圆相切的充要条件

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系。核心在于根据已知点和斜率写出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径这一切线几何特征建立方程求解参数。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(理)） 设直线过点 $(0,a)$，其斜率为 1，且与圆 $x^2+y^2=2$ 相切，则 $a$ 的值为()

A. $\pm \sqrt{2}$　　　　　　　B. $\pm 2$　　　　　　　C. $\pm 2\sqrt{2}$　　　　　　　D. $\pm 4$

🔍【思路分析】

破题导航

写出直线方程：已知直线过点 $(0,a)$（即 y 轴截距为 $a$），斜率 $k=1$，用斜截式写出直线方程为 $y=x+a$，化为一般式为 $x-y+a=0$。 提取圆的特征量：由圆的方程 $x^2+y^2=2$，可知圆心为原点 $O(0,0)$，半径 $R=\sqrt{2}$。 利用相切几何条件：直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离 $d$ 等于半径 $R$。套用点到直线距离公式列出关于 $a$ 的方程求解。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：因为直线过点 $(0,a)$ 且斜率为 1，根据直线的斜截式方程公式，直线方程可写为： $y=1\cdot x+a⟹y=x+a$ 将其化为标准一般式方程： $x-y+a=0$

已知圆的方程为 $x^2+y^2=2$，由此可直接提取出：

• 圆心坐标为原点： $O(0,0)$
• 圆的半径为： $R=\sqrt{2}$

因为直线与该圆严格相切，根据平面几何性质，圆心 $O(0,0)$ 到切直线的垂直距离 $d$ 必须等于圆的半径 $R$。 套用点到直线的距离公式： $d=\frac{|1\times 0-1\times 0+a|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|a|}{\sqrt{2}}$

令 $d=R$，得： $\frac{|a|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ 两边同时乘以 $\sqrt{2}$： $|a|=\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2$ 去绝对值符号解得： $a=\pm 2$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：直线一般式方程的转化、点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$、直线与圆相切的判定条件 $d=R$。
• 核心方法：几何法（距离等于半径法）。
• 避坑指南：
• 直线与圆的位置关系通常有“代数法（联立方程令 $\Delta =0$）”和“几何法（$d=R$）”两种。在处理圆的相切问题时，由于几何法不需要展开庞大的二次多项式，运算量极小，因而属于最优先推荐的高效解法。
• 提取圆的半径时注意右侧常数是 $R^2=2$，半径应为 $\sqrt{2}$，避免粗心错当成 2。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查解析几何中直线与圆位置关系最标准的常规高频基础题，重在考查点线距离公式的规范调用。 结论推广: 针对任何斜率为 $\pm 1$ 且与圆 $x^2+y^2=R^2$ 相切的直线，其在坐标轴上的截距 $a$ 恒满足一秒秒杀关系式： $a=\pm \sqrt{2}R$。本题中 $R=\sqrt{2}$，故 $a=\pm \sqrt{2}\times \sqrt{2}=\pm 2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2008-陕西文-05 单-直线与圆相切
• 2009-辽宁文-07 单-直线与圆相切定圆
• 2010-广东卷文-06 单-直线与圆相切