2006-陕西卷理-02 单-复数除法与分母实数化

本题导读

本题考查复数的代数化简运算。核心在于分子完全平方公式的直接展开以及复数除法中利用共轭复数进行分母实数化的标准流程。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(理)） 复数 $\frac{(1+\text{i}{)}^2}{1-\text{i}}$ 等于()

A. $1-\text{i}$　　　　B. $1+\text{i}$　　　　C. $-1+\text{i}$　　　　D. $-1-\text{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

分子展开：利用完全平方公式展开 $(1+\text{i}{)}^2$，结合 ${\text{i}}^2=-1$ 将其化简为最简单项虚数 $2\text{i}$。 分母实数化：将化简后的分式 $\frac{2\text{i}}{1-\text{i}}$ 的分子与分母同时乘以分母的共轭复数 $(1+\text{i})$。 完成化简：展开多项式并合并同类项，化为标准的 $a+b\text{i}$ 形式。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：首先利用完全平方公式对分子进行展开化简： $(1+\text{i}{)}^2=1+2\text{i}+{\text{i}}^2$ 因为 ${\text{i}}^2=-1$，代入得： $(1+\text{i}{)}^2=1+2\text{i}-1=2\text{i}$

将分子化简结果代回原复数分式中： $\frac{(1+\text{i}{)}^2}{1-\text{i}}=\frac{2\text{i}}{1-\text{i}}$

为了进行复数除法，分子和分母同时乘以分母 $1-\text{i}$ 的共轭复数 $1+\text{i}$： $\frac{2\text{i}}{1-\text{i}}=\frac{2\text{i}(1+\text{i})}{(1-\text{i})(1+\text{i})}$ 展开分子与分母的多项式：

• 分子： $2\text{i}(1+\text{i})=2\text{i}+2{\text{i}}^2=2\text{i}-2=-2+2\text{i}$
• 分母： $(1-\text{i})(1+\text{i})=1^2-{\text{i}}^2=1-(-1)=2$

代回分式进行约分分项化简： $\frac{-2+2\text{i}}{2}=-1+\text{i}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：特异性复数恒等式（$(1+\text{i}{)}^2=2\text{i}$）、共轭复数相乘模平方公式（$(a+b\text{i})(a-b\text{i})=a^2+b^2$）。
• 核心方法：分母实数化代数法。
• 避坑指南：
• 熟记常用结论 $(1+\text{i}{)}^2=2\text{i}$ 和 $(1-\text{i}{)}^2=-2\text{i}$ 可以大幅提升考场运算速度。
• 分子展开乘以 $2\text{i}(\text{i})$ 时，切勿忘记 ${\text{i}}^2$ 产生的负号，防止误算为 $2+2\text{i}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查复数四则运算的标准基础选择题，旨在确保考生完整掌握虚数单位基本幂次变换及分式化简基本功。 结论推广: 针对任何形如 $\frac{(1+\text{i}{)}^2}{1-\text{i}}$ 的构型，由于 $\frac{1+\text{i}}{1-\text{i}}=\text{i}$，原式可直接等价变形为 $(1+\text{i})\cdot \left(\frac{1+\text{i}}{1-\text{i}}\right)=(1+\text{i})\cdot \text{i}=\text{i}+{\text{i}}^2=-1+\text{i}$。利用此独立因子法可一秒直接口算化简出结果。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2007-天津卷理-01 单-复数代数形式除法运算
• 2009-天津文-01 单-复数除法
• 2010-天津文-01 单-复数除法