2006-陕西文-16 填-球相切求距离

本题导读

本题考查球，以及相切。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(文)） 水平桌面 $\alpha$ 上放有 $4$ 个半径均为 $2R$ 的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）．在这 $4$ 个球的上面放 $1$ 个半径为 $R$ 的小球，它和下面的 $4$ 个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面 $\alpha$ 的距离是　　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 四个大球球心在同一水平面，相邻相切，球心距 $4R$，构成边长 $4R$ 正方形。
2. 正方形中心 $O$ 到各球心的水平距离为对角线一半 $2\sqrt{2}R$。
3. 小球球心 $P$ 在 $O$ 的正上方，设到桌面距离为 $h$，大球球心到桌面距离 $2R$。
4. 小球与大球相切，球心距 $3R$：$(h-2R{)}^2+(2\sqrt{2}R{)}^2=(3R{)}^2$。
5. 解得 $(h-2R{)}^2=R^2$，$h=R$ 或 $3R$，小球在上方取 $h=3R$。

✅【答案】

Success

$3R$

✍【详细解析】

Abstract

四个大球的球心在同一水平面内，且相邻球相切，所以球心构成边长 $4R$ 的正方形． 设正方形中心为 $O$，小球球心为 $P$，则小球球心在 $O$ 的竖直线上．大球球心到 $O$ 的水平距离为正方形对角线的一半，即 $2\sqrt{2}R$． 四个大球球心到桌面的距离均为 $2R$，设小球球心到桌面的距离为 $h$．由小球与大球相切，球心距为 $3R$，于是 $(h-2R{)}^2+(2\sqrt{2}R{)}^2=(3R{)}^2.$ 解得 $(h-2R{)}^2=R^2$，即 $h=R$ 或 $h=3R$． 由于小球放在四个大球的上面，取 $h=3R$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球相切求距离

核心方法：四球心构成边长 $4R$ 正方形，小球心在中心正上方，$(h-2R{)}^2+(2\sqrt{2}R{)}^2=(3R{)}^2$，得 $h=3R$

避坑指南：球心距 $3R$（$2R+R$），水平距离为正方形对角线一半 $2\sqrt{2}R$；取 $h=3R$（上侧解）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 空间球与球的相切

结论推广: 相切球心距等于半径和

方法推广: 建直角三角形用勾股定理求高

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-08 单-内切球
• 2008-浙江文-15 填-外接球体积
• 2008-新课标Ⅰ文-14 填-六棱柱外接球
• 2008-湖南文-09 单-长方体外接球距离