2006-陕西文-14 填-二项式常数项

本题导读

本题考查二项式定理，以及常数项。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(文)） ${\left(2x-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^6$ 展开式中的常数项为　　　　.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 $T_{r+1}=C_6^r(2x{)}^{6-r}{\left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^r=C_6^r{2}^{6-r}(-1{)}^r{x}^{6-\frac{3}{2}r}$。
2. 常数项要求 $6-\frac{3}{2}r=0$，得 $r=4$。
3. 常数项 $=C_6^4\cdot 2^2\cdot (-1{)}^4=15\times 4=60$。

✅【答案】

Success

$60$

✍【详细解析】

Abstract

展开式的通项可写为 $C_6^r(2x{)}^{6-r}{\left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^r=C_6^r{2}^{6-r}(-1{)}^r{x}^{6-\frac{3}{2}r}.$ 要得到常数项，必须满足 $6-\frac{3}{2}r=0$，所以 $r=4$． 因此常数项为 $C_6^4\cdot 2^2\cdot (-1{)}^4=15\times 4=60$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式常数项

核心方法：通项 $C_6^r(2x{)}^{6-r}(-\frac{1}{\sqrt{x}}{)}^r=C_6^r{2}^{6-r}(-1{)}^r{x}^{6-\frac{3}{2}r}$，令 $6-\frac{3}{2}r=0$ 得 $r=4$，常数项 $60$

避坑指南：指数 $6-\frac{3}{2}r=0$ 解得 $r=4$，系数 $C_6^4\cdot 2^2=60$，符号 $(-1{)}^4=1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 二项式定理通项

结论推广: $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$

方法推广: 令指数为 $0$ 求 $r$，再算系数

🔗【关联脉络】

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• 2008-江西文-08 单-二项式定理常数项
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