2006-陕西文-07 单-基本不等式求最值

本题导读

本题考查基本不等式，以及最值。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(文)） 设 $x,y$ 为正数，则 $(x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\right)$ 的最小值为()

A. $6$　　　　　　　B. $9$　　　　　　　C. $12$　　　　　　　D. $15$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开：$(x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\right)=1+\frac{4x}{y}+\frac{y}{x}+4=5+\frac{4x}{y}+\frac{y}{x}$。
2. 由基本不等式，$\frac{4x}{y}+\frac{y}{x}⩾2\sqrt{\frac{4x}{y}\cdot \frac{y}{x}}=4$。
3. 故原式 $⩾5+4=9$，当且仅当 $\frac{4x}{y}=\frac{y}{x}$ 即 $y=2x$ 时取等。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

展开得 $(x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\right)=5+\frac{4x}{y}+\frac{y}{x}.$ 因为 $x>0$、$y>0$，由基本不等式 $\frac{4x}{y}+\frac{y}{x}⩾2\sqrt{\frac{4x}{y}\cdot \frac{y}{x}}=4.$ 所以原式的最小值为 $5+4=9$，当且仅当 $\frac{4x}{y}=\frac{y}{x}$，即 $y=2x$ 时取得，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本不等式求最值

核心方法：展开 $5+\frac{4x}{y}+\frac{y}{x}⩾5+2\sqrt{4}=9$

避坑指南：基本不等式取等条件 $\frac{4x}{y}=\frac{y}{x}$ 即 $y=2x$，勿漏验证取等

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 基本不等式

结论推广: $a+b⩾2\sqrt{ab}$（$a,b>0$）

方法推广: 展开后分组用基本不等式，验证取等条件

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷文-13 填-基本不等式恒成立
• 2010-大纲Ⅰ文-11 单-切线数量积最值
• 2011-江苏卷-08 填-反比例函数弦长最值
• 2008-安徽文-06 单-反函数求解