2006-陕西文-06 单-等差与充要条件

本题导读

本题考查等差中项，以及充要条件。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(文)） ”$\alpha ,\beta ,\gamma$ 成等差数列”是”等式 $\sin (\alpha +\gamma )=\sin 2\beta$ 成立”的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 若 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 成等差，则 $\alpha +\gamma =2\beta$，故 $\sin (\alpha +\gamma )=\sin 2\beta$，充分。
2. 反之，取 $\alpha =0,\beta =0,\gamma =\pi$，则 $\sin (\alpha +\gamma )=\sin \pi =0=\sin 0=\sin 2\beta$，但 $\alpha +\gamma =\pi \ne 0=2\beta$，不成等差，故不必要。
3. 充分而不必要条件。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

若 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 成等差数列，则 $\alpha +\gamma =2\beta$，从而 $\sin (\alpha +\gamma )=\sin 2\beta$，故”成等差”是等式成立的充分条件． 反之不成立．例如取 $\alpha =0$、$\beta =0$、$\gamma =\pi$，则 $\sin (\alpha +\gamma )=\sin \pi =0=\sin 0=\sin 2\beta$，但 $\alpha +\gamma \ne 2\beta$，三数不成等差数列． 因此该条件是充分而不必要条件，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差与充要条件

核心方法：$\alpha ,\beta ,\gamma$ 成等差 $\Rightarrow \alpha +\gamma =2\beta \Rightarrow \sin (\alpha +\gamma )=\sin 2\beta$，但反之不成立

避坑指南：反例 $\alpha =0,\beta =0,\gamma =\pi$ 满足等式但不成等差，故是充分不必要

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 等差中项与充要条件

结论推广: $\alpha +\gamma =2\beta$ 是 $\sin (\alpha +\gamma )=\sin 2\beta$ 的充分不必要条件

方法推广: 判断充要条件要双向验证，举反例否定必要性

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

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• 2023-新高考I卷-07 单-充要条件与数列
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