2006-陕西文-04 单-对数型反函数

本题导读

本题考查反函数，以及对数函数。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(文)） 设函数 $f(x)={\log }_a(x+b)$（$a>0$，$a\ne 1$）的图象过点 $(0,0)$，其反函数的图象过点 $(1,2)$，则 $a+b$ 等于()

A. $6$　　　　　　　B. $5$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(0)=0$：${\log }_{a}b=0$，得 $b=1$。
2. 反函数图象过 $(1,2)$，等价于原函数图象过 $(2,1)$。
3. $f(2)=1$：${\log }_a(2+b)=1$，即 ${\log }_{a}3=1$，得 $a=3$。
4. $a+b=3+1=4$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由函数图象过点 $(0,0)$，得 ${\log }_{a}b=0$，所以 $b=1$． 反函数的图象过点 $(1,2)$，等价于原函数图象过点 $(2,1)$，故 ${\log }_a(2+b)=1$，从而 $a=2+b=3$． 因此 $a+b=3+1=4$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数型反函数

核心方法：图象过 $(0,0)$ 得 ${\log }_{a}b=0$ 即 $b=1$；反函数过 $(1,2)$ 即原函数过 $(2,1)$，得 $a=3$

避坑指南：反函数图象过 $(1,2)$ 等价于原函数过 $(2,1)$，勿把点直接代入原函数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 反函数与原函数图象的对称关系

结论推广: 反函数图象过 $(1,2)$ 等价于原函数过 $(2,1)$

方法推广: 利用对称性转换点的坐标

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2008-四川文-02 单-对数型反函数
• 2008-陕西文-07 单-反函数与对数运算
• 2010-大纲Ⅱ文-04 单-对数反函数
• 2011-四川卷文-04 单-反函数图象