2006-重庆卷理-22 解-数列的单调性分析

本题导读

本题作为全卷压轴题，将解析几何中椭圆的焦点、准线性质与代数不等式、数列单调性完美交汇。第一问利用椭圆第二定义将焦点距离转化为准线距离，列出代数方程，利用点坐标的范围约束推导参数的不等式；第二问通过建立三角形面积函数，代入参数数列解析式，转化为研究连续函数及离散数列的单调性问题。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(理)）已知一列椭圆 $C_{n} : x^{2} + \frac{y ^{2}}{b _{n}^{2}} = 1$ ， $0 < b_{n} < 1$ ， $n = 1, 2, \dots$ 。若椭圆 $C_{n}$ 上有一点 $P_{n}$ ，使 $P_{n}$ 到右准线 $l_{n}$ 的距离 $d_{n}$ 是 $∣ P_{n} F_{n} ∣$ 与 $∣ P_{n} G_{n} ∣$ 的等差中项，其中 $F_{n}$ 、 $G_{n}$ 分别是 $C_{n}$ 的左、右焦点。

(1) 试证： $b_{n} \leq \frac{3}{2} (n \geq 1)$ ；

(2) 取 $b_{n} = \frac{2 n + 3}{n + 2}$ ，并用 $S_{n}$ 表示 $△ P_{n} F_{n} G_{n}$ 的面积，试证： $S_{1} < S_{2}$ 且 $S_{n} > S_{n + 1} (n \geq 3)$ 。

🔍【思路分析】

破题导航

第一问论证逻辑：

设椭圆 $C_{n}$ 的长半轴 $a = 1$ ，短半轴为 $b_{n}$ ，则半焦距 $c_{n} = 1 - b_{n}^{2}$ ，离心率 $e_{n} = \frac{c _{n}}{a} = 1 - b_{n}^{2}$ 。

设点 $P_{n}$ 的坐标为 $(x_{0}, y_{0})$ ，由于点在椭圆上，满足 $- 1 \leq x_{0} \leq 1$ 。

根据椭圆第二定义（点到焦点距离与到准线距离之比等于离心率 $e_{n}$ ）：

$P_{n}$ 到右焦点 $G_{n}$ 的距离 $∣ P_{n} G_{n} ∣ = e_{n} \cdot d_{n} = c_{n} d_{n}$ 。

根据椭圆第一定义， $∣ P_{n} F_{n} ∣ + ∣ P_{n} G_{n} ∣ = 2 a = 2 ⟹ ∣ P_{n} F_{n} ∣ = 2 - ∣ P_{n} G_{n} ∣ = 2 - e_{n} d_{n}$ 。

依据已知“ $d_{n}$ 是 $∣ P_{n} F_{n} ∣$ 与 $∣ P_{n} G_{n} ∣$ 的等差中项”，列出方程： $2 d_{n} = ∣ P_{n} F_{n} ∣ + ∣ P_{n} G_{n} ∣ = 2 ⟹ d_{n} = 1$ 。

点 $P_{n} (x_{0}, y_{0})$ 到右准线 $x = \frac{a ^{2}}{c _{n}} = \frac{1}{c _{n}}$ 的距离公式为 $d_{n} = \frac{1}{c _{n}} - x_{0}$ 。

代入 $d_{n} = 1$ 得到 $x_{0} = \frac{1}{c _{n}} - 1$ 。

利用范围限制 $- 1 \leq x_{0} \leq 1$ ，建立关于 $c_{n}$ 的不等式，进而转化为 $b_{n}$ 的取值范围完成证明。 第二问逻辑：

首先必须将 $△ P_{n} F_{n} G_{n}$ 的面积 $S_{n}$ 表示为关于短半轴 $b_{n}$ 及其对应点坐标的代数式。

面积公式 $S_{n} = \frac{1}{2} \cdot ∣ F_{n} G_{n} ∣ \cdot ∣ y_{0} ∣ = \frac{1}{2} \cdot 2 c_{n} \cdot ∣ y_{0} ∣ = c_{n} ∣ y_{0} ∣$ 。

利用第一问中求出的 $x_{0} = \frac{1}{c _{n}} - 1$ ，根据点在椭圆上满足 $y_{0}^{2} = b_{n}^{2} (1 - x_{0}^{2})$ ，将面积平方 $S_{n}^{2}$ 彻底转化为关于 $c_{n}$ 的代数式。

代入给定的 $b_{n} = \frac{2 n + 3}{n + 2}$ ，利用 $c_{n} = 1 - b_{n}^{2}$ 将面积表达为关于项数 $n$ 的显式数列通项。

通过研究连续函数 $f (x)$ 的导数或直接通过数列项作差法判定 $S_{1} < S_{2}$ 并在 $n \geq 3$ 时单调递减。

✅【答案】

Success

$（ 1 ） bn ⩽ \sqrt32 （ n ⩾ 1 ） . （ 2 ） S 1 < S 2 ， S n > S n + 1 （ n ⩾ 3 ） .$

✍【详细解析】

Abstract

解： (1) 证明：对于椭圆 $C_{n} : x^{2} + \frac{y ^{2}}{b _{n}^{2}} = 1$ ，其长半轴 $a = 1$ ，短半轴为 $b_{n}$ ，则其半焦距 $c_{n} = 1 - b_{n}^{2}$ ，离心率 $e_{n} = \frac{c _{n}}{a} = c_{n} = 1 - b_{n}^{2}$ 。其右准线方程为 $x = \frac{a ^{2}}{c _{n}} = \frac{1}{c _{n}}$ 。

设椭圆 $C_{n}$ 上的点 $P_{n}$ 坐标为 $(x_{0}, y_{0})$ ，则 $- 1 \leq x_{0} \leq 1$ 。根据椭圆的第二定义，点 $P_{n}$ 到右焦点 $G_{n}$ 的距离与到右准线的距离 $d_{n}$ 之比等于离心率 $e_{n}$ ，即： $∣ P_{n} G_{n} ∣ = e_{n} \cdot d_{n} = c_{n} d_{n}$ 根据椭圆的第一定义， $∣ P_{n} F_{n} ∣ + ∣ P_{n} G_{n} ∣ = 2 a = 2$ ，所以左焦半径为： $∣ P_{n} F_{n} ∣ = 2 - ∣ P_{n} G_{n} ∣ = 2 - c_{n} d_{n}$

又已知 $d_{n}$ 是 $∣ P_{n} F_{n} ∣$ 与 $∣ P_{n} G_{n} ∣$ 的等差中项，根据等差中项定义： $2 d_{n} = ∣ P_{n} F_{n} ∣ + ∣ P_{n} G_{n} ∣$ 代入前面的焦半径关系式可得： $2 d_{n} = (2 - c_{n} d_{n}) + c_{n} d_{n} = 2 ⟹ d_{n} = 1$

根据点到准线的距离公式，点 $P_{n} (x_{0}, y_{0})$ 到右准线 $x = \frac{1}{c _{n}}$ 的距离为： $d_{n} = \frac{1}{c _{n}} - x_{0} = 1 ⟹ x_{0} = \frac{1}{c _{n}} - 1$

因为点 $P_{n}$ 在椭圆上，所以其横坐标必须满足： $- 1 \leq x_{0} \leq 1 ⟹ - 1 \leq \frac{1}{c _{n}} - 1 \leq 1$ 解该不等式组： $\frac{1}{c _{n}} \leq 2 ⟹ c_{n} \geq \frac{1}{2}$

将 $c_{n} = 1 - b_{n}^{2}$ 代入上式： $1 - b_{n}^{2} \geq \frac{1}{2} ⟹ 1 - b_{n}^{2} \geq \frac{1}{4} ⟹ b_{n}^{2} \leq \frac{3}{4}$ 由于 $0 < b_{n} < 1$ ，两边开方可得： $b_{n} \leq \frac{3}{2}$ 原命题得证。

(2) 证明：由 (1) 知 $x_{0} = \frac{1}{c _{n}} - 1$ ，因为点 $P_{n} (x_{0}, y_{0})$ 在椭圆上，其纵坐标满足： $y_{0}^{2} = b_{n}^{2} (1 - x_{0}^{2})$

$△ P_{n} F_{n} G_{n}$ 的底边为焦距 $∣ F_{n} G_{n} ∣ = 2 c_{n}$ ，高为 $∣ y_{0} ∣$ ，其面积 $S_{n}$ 为： $S_{n} = \frac{1}{2} \cdot 2 c_{n} \cdot ∣ y_{0} ∣ = c_{n} ∣ y_{0} ∣$ 将面积平方以消去绝对值与根号： $S_{n}^{2} = c_{n}^{2} y_{0}^{2} = c_{n}^{2} \cdot b_{n}^{2} (1 - x_{0}^{2}) = c_{n}^{2} (1 - c_{n}^{2}) \cdot [1 - (\frac{1}{c _{n}} - 1)^{2}]$ $= c_{n}^{2} (1 - c_{n}^{2}) \cdot [1 - (\frac{1}{c _{n}^{2}} - \frac{2}{c _{n}} + 1)]$ $= c_{n}^{2} (1 - c_{n}^{2}) \cdot (\frac{2}{c _{n}} - \frac{1}{c _{n}^{2}}) = c_{n}^{2} (1 - c_{n}^{2}) \cdot \frac{2 c _{n} - 1}{c _{n}^{2}}$ $S_{n}^{2} = (1 - c_{n}^{2}) (2 c_{n} - 1) = - 2 c_{n}^{3} + c_{n}^{2} + 2 c_{n} - 1$

已知 $b_{n} = \frac{2 n + 3}{n + 2}$ ，由关系式 $c_{n}^{2} = 1 - b_{n}^{2}$ 可求得 $c_{n}$ 关于 $n$ 的表达式： $c_{n}^{2} = 1 - \frac{2 n + 3}{( n + 2 ) ^{2}} = \frac{n ^{2} + 4 n + 4 - 2 n - 3}{( n + 2 ) ^{2}} = \frac{n ^{2} + 2 n + 1}{( n + 2 ) ^{2}} = \frac{( n + 1 ) ^{2}}{( n + 2 ) ^{2}}$ 因为 $n \geq 1$ ，所以： $c_{n} = \frac{n + 1}{n + 2} = 1 - \frac{1}{n + 2}$

我们将 $c_{n}$ 简记为关于 $n$ 的变量。下面计算具体的 $S_{1}^{2}$ 和 $S_{2}^{2}$ 以验证第一部分：

当 $n = 1$ 时， $c_{1} = \frac{2}{3}$ ，代入面积平方公式： $S_{1}^{2} = (1 - \frac{4}{9}) (2 \times \frac{2}{3} - 1) = \frac{5}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{5}{27} \approx 0.1852$

当 $n = 2$ 时， $c_{2} = \frac{3}{4}$ ，代入面积平方公式： $S_{2}^{2} = (1 - \frac{9}{16}) (2 \times \frac{3}{4} - 1) = \frac{7}{16} \times \frac{1}{2} = \frac{7}{32} = \frac{5.9}{27} > \frac{5}{27}$ 由于 $S_{1}^{2} < S_{2}^{2}$ 且面积均为正数，故： $S_{1} < S_{2}$

下面证明当 $n \geq 3$ 时， $S_{n} > S_{n + 1}$ ，即证明数列从第三项开始单调递减。构造连续函数 $f (t) = - 2 t^{3} + t^{2} + 2 t - 1$ ，其中 $t = c_{n}$ 。对 $f (t)$ 进行求导以研究单调性： $f^{'} (t) = - 6 t^{2} + 2 t + 2 = - 2 (3 t^{2} - t - 1)$

令 $f^{'} (t) = 0 ⟹ 3 t^{2} - t - 1 = 0$ ，求得正根为 $t_{0} = \frac{1 + 13}{6}$ 。因为 $13 \approx 3.605$ ，所以 $t_{0} \approx \frac{4.605}{6} \approx 0.7675$ 。

当 $t > t_{0}$ 时， $3 t^{2} - t - 1 > 0 ⟹ f^{'} (t) < 0$ ，函数 $f (t)$ 严格单调递减。

现在我们来看数列中自变量 $t = c_{n} = \frac{n + 1}{n + 2}$ 的分布情况：

当 $n = 3$ 时， $c_{3} = \frac{4}{5} = 0.8$ 。显然，对于所有的 $n \geq 3$ ，恒有： $c_{n} = \frac{n + 1}{n + 2} \geq 0.8 > t_{0} \approx 0.7675$

同时，由于 $c_{n} = 1 - \frac{1}{n + 2}$ 随着 $n$ 的增大而严格单调递增，即当 $n \geq 3$ 时，有 $t_{0} < c_{3} < c_{4} < c_{5} < \dots < c_{n} < c_{n + 1} < 1$ 。由于自变量 $t$ 在区间 $(t_{0}, 1)$ 上单调递增，而函数 $f (t)$ 在该区间内单调递减，所以： $f (c_{3}) > f (c_{4}) > f (c_{5}) > \dots > f (c_{n}) > f (c_{n + 1})$ 即： $S_{3}^{2} > S_{4}^{2} > S_{5}^{2} > \dots > S_{n}^{2} > S_{n + 1}^{2}$

由于开方不改变不等号方向，故当 $n \geq 3$ 时，恒有： $S_{n} > S_{n + 1}$ 原命题完全得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆锥曲线第二定义、平面多边形面积的参数函数化表达、导数分析数列单调性。

核心方法：第二定义转化法、函数单调性复合判定法。

避坑指南：

陷阱一：硬算焦半径。在第 (1) 问中，如果不用第二定义，强行使用两点距离公式 $∣ P_{n} G_{n} ∣ = (x_{0} - c_{n})^{2} + y_{0}^{2}$ 展开化简，不仅计算量极大，而且容易在消元时出错。牢记：题目中一旦出现“点到焦点距离”与“点到准线距离”并存，优先诉诸第二定义 $r = e \cdot d$ 。

陷阱二：错判单调区间。在第 (2) 问中，导函数的极值点 $t_{0} \approx 0.7675$ 。而 $c_{2} = \frac{3}{4} = 0.75 < t_{0}$ ，说明 $c_{2}$ 依然处于函数的递增区间内，所以 $S_{1} < S_{2}$ 是单独成立的，只有从 $n \geq 3$ 开始（ $c_{3} = 0.8 > t_{0}$ ）数列才进入严格单调递减轨道。如果不求极值点，盲目断定数列全线单调，会造成严重失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题综合了传统解析几何核心性质与近代导数分析工具，是新旧教材交替时期非常经典的压轴题设计典范。结论推广: 椭圆上满足到焦点距离与到对应准线距离成特定比例（如等差、等比）的点集，其存在性由离心率 $e$ 与长短轴的基本几何边界共同制约。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

18.01 椭圆专题全总结

03.01 不等式解法体系

05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

2008-四川文-22 解-椭圆准线与向量最值

2008-湖南文-19 解-椭圆准线与对称点

2007-四川文-21 解-椭圆数量积与锐角范围

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2006-重庆卷理-22 解-数列的单调性分析

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💡【考点归纳与避坑指南】

📖【试题探源与推广】

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