2006-重庆卷理-19 解-三角形中位线性质

本题导读

本题核心考查立体几何中的线面垂直证明及二面角的定量计算。第一问可利用中位线及直角梯形的边长特征通过几何法证明线线垂直从而推导线面垂直；第二问通过构建空间直角坐标系引入参数 $k$，计算两个平面的法向量，利用二面角的限制条件建立关于 $k$ 的不等式求解。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(理)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中， $PA\perp$ 底面 $ABCD$， $\angle DAB$ 为直角， $AB\parallel CD$， $AD=CD=2AB$， $E$、 $F$ 分别为 $PC$、 $CD$ 的中点。

(1) 试证： $CD\perp$ 平面 $BEF$；

(2) 设 $PA=k\cdot AB$，且二面角 $E-BD-C$ 的平面角大于 $30^{\circ }$，求 $k$ 的取值范围。

🔍【思路分析】

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第一问论证逻辑：

• 要证 $CD\perp$ 平面 $BEF$，只需在平面内寻找两条相交直线与 $CD$ 垂直。
• 依据线面垂直的性质，因为 $PA\perp$ 底面 $ABCD$，所以 $PA\perp CD$。
• 借助中位线性质： $E,F$ 是 $PC,CD$ 的中点，则 $EF\parallel PD$。如果在侧面 $PAD$ 内建立分析，因 $PA\perp CD$ 且 $AD\perp CD$，可证 $CD\perp$ 平面 $PAD$，进而得 $CD\perp PD$，故 $CD\perp EF$。
• 接下来在底面直角梯形内证明 $CD\perp BF$。利用 $F$ 为 $CD$ 中点且 $CD=2AB$，可得 $CF=AB$，再结合 $AB\parallel CD$，推出 $ABFD$ 为矩形，从而有 $BF\perp CD$。
• 综上， $CD$ 垂直于相交线 $EF$ 和 $BF$，结论成立。 第二问坐标建模逻辑：
• 鉴于 $PA,AD,AB$ 两两垂直，以 $A$ 为坐标原点，分别以 $AB,AD,AP$ 方向为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。
• 设 $AB=1$，则 $PA=k$。根据几何比例写出所有相关顶点的空间坐标。
• 确定平面 $BDC$（即底面）的法向量为 ${\mathbf{n}}_1=(0,0,1)$。
• 求解平面 $EBD$ 的法向量 ${\mathbf{n}}_2$：写出向量 $\overrightarrow{BD}$ 与 $\overrightarrow{BE}$，通过方程组 $\{\begin{array}{l}{\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{BD}=0\\ {\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{BE}=0\end{array}$ 计算得出。
• 依据二面角的余弦值公式 $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}<\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$，列出含 $k$ 的代数不等式求解其范围。

✅【答案】

Success

（1）CD⟂平面BEF.（2）k>\frac{2\sqrt{15}}{15}.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 因为 $PA\perp$ 底面 $ABCD$，且 $CD\subset$ 平面 $ABCD$， 所以 $PA\perp CD$。 又因为 $\angle DAB=90^{\circ }$，即 $AD\perp AB$，且 $AB\parallel CD$， 所以 $CD\perp AD$。 因为 $PA\cap AD=A$，且 $PA,AD\subset$ 平面 $PAD$， 所以 $CD\perp$ 平面 $PAD$。 因为 $PD\subset$ 平面 $PAD$，所以 $CD\perp PD$。 在 $△PCD$ 中， $E,F$ 分别是 $PC,CD$ 的中点， 所以 $EF\parallel PD$。 因此可得： $CD\perp EF$。

在底面 $ABCD$ 内，因为 $AB\parallel CD$， $F$ 为 $CD$ 的中点，且 $CD=2AB$， 所以 $DF=\frac{1}{2}CD=AB$。 又因 $AB\parallel DF$，所以四边形 $ABFD$ 为平行四边形。 由 $\angle DAB=90^{\circ }$，可知平行四边形 $ABFD$ 为矩形， 所以 $BF\perp DF$，即 $CD\perp BF$。 因为 $EF\cap BF=F$，且 $EF,BF\subset$ 平面 $BEF$， 所以 $CD\perp$ 平面 $BEF$。

(2) 解： 以 $A$ 为原点，射线 $AB,AD,AP$ 分别为 $x,y,z$ 轴正半轴建立空间直角坐标系。 设 $AB=1$，则 $AD=2,CD=2,PA=k$ ($k>0$)。 各点坐标为： $A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),P(0,0,k)$

因为 $E$ 是 $PC$ 的中点，根据中点坐标公式： $E\left(\frac{0+2}{2},\frac{0+2}{2},\frac{k+0}{2}\right)=\left(1,1,\frac{k}{2}\right)$

易知底面 $BDC$ 位于 $xOy$ 平面上，故平面 $BDC$ 的一个法向量为： ${\mathbf{n}}_1=(0,0,1)$

下面求平面 $EBD$ 的法向量 ${\mathbf{n}}_2=(x,y,z)$： 计算平面内的两个向量： $\overrightarrow{BD}=(0-1,2-0,0-0)=(-1,2,0)$ $\overrightarrow{BE}=\left(1-1,1-0,\frac{k}{2}-0\right)=\left(0,1,\frac{k}{2}\right)$

根据法向量的垂直定义： $\{\begin{array}{l}{\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{BD}=0⟹-x+2y=0\\ {\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{BE}=0⟹y+\frac{k}{2}z=0\end{array}$

令 $y=1$，可解得 $x=2$，$z=-\frac{2}{k}$。 所以平面 $EBD$ 的一个法向量为： ${\mathbf{n}}_2=\left(2,1,-\frac{2}{k}\right)$

设二面角 $E-BD-C$ 的平面角为 $\theta$。由图可知 $\theta$ 为锐角，则： $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{|0+0-\frac{2}{k}|}{1\times \sqrt{2^2+1^2+{\left(-\frac{2}{k}\right)}^2}}=\frac{\frac{2}{k}}{\sqrt{5+\frac{4}{k^2}}}=\frac{2}{\sqrt{5k^2+4}}$

因为二面角 $\theta >30^{\circ }$，且余弦函数在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上单调递减，所以： $\cos \theta <\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{2}{\sqrt{5k^2+4}}<\frac{\sqrt{3}}{2}$

两边平方（因为均为正数）： $\frac{4}{5k^2+4}<\frac{3}{4}⟹16<3(5k^2+4)$ $16<15k^2+12⟹15k^2>4⟹k^2>\frac{4}{15}$

由于 $k>0$，开方化简得： $k>\frac{2}{\sqrt{15}}=\frac{2\sqrt{15}}{15}$

故 $k$ 的取值范围是 $\left(\frac{2\sqrt{15}}{15},+\infty \right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：空间直角坐标系的建立、平面法向量的求解方程组、二面角的余弦公式与角度单调性转化。
• 核心方法：空间向量坐标解析法。
• 避坑指南：在利用二面角大于 $30^{\circ }$ 建立不等式时，极易犯下**“方向想反”**的错误，将不等号错写成 $\cos \theta >\cos 30^{\circ }$。务必牢记：在锐角范围内，角度越大，对应的余弦值反而越小。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于人教A版选择性必修第一册“空间向量与立体几何”章节中关于面面夹角计算的经典常规高考题型。 结论推广: 设二面角的平面角为 $\theta \in [0,\pi )$，平面的法向量分别为 ${\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2$，若二面角为锐角，则 $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.01 空间向量及其运算
• 21.03 空间向量求角
• 11.06 中线模型与衍生恒等式

类题演练 (Links)

• 2007-天津卷理-19 解-二面角向量求法
• 2007-山东卷理-19 解-用空间向量求二面角