2006-重庆卷理-17 解-三角函数的性质

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质。先用降幂公式和二倍角公式化简为标准正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )+k$，再结合图象的最高点求 $\omega$，最后用整体代换法求闭区间上的最值，从而求出参数 $a$。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(理)） 设函数 $f(x)=\sqrt{3}{\cos }^2\omega x+\sin \omega x\cos \omega x+a$ （其中 $\omega >0,a\in \mathbf{R}$），且 $f(x)$ 的图象在 $y$ 轴右侧的第一个最高点的横坐标为 $\frac{\pi }{6}$。

(1) 求 $\omega$ 的值；

(2) 如果 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}\right]$ 上简的最小值为 $\sqrt{3}$，求 $a$ 的值。

🔍【思路分析】

破题导航

化简解析式：利用降幂公式 ${\cos }^2\omega x=\frac{1+\cos 2\omega x}{2}$ 和倍角公式 $\sin \omega x\cos \omega x=\frac{1}{2}\sin 2\omega x$ 展开，再通过辅助角公式化为 $A\sin (2\omega x+\phi )+C$ 的形式。 第一问：由“$y$ 轴右侧第一个最高点”可知，此时相位 $2\omega x+\phi$ 对应第一个使正弦值取 $1$ 的正值，即 $\frac{\pi }{2}$。将 $x=\frac{\pi }{6}$ 代入方程求出 $\omega$。 第二问：将 $\omega$ 的值代入解析式，求出在给定区间 $\left[-\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}\right]$ 下，内层角 $2\omega x+\phi$ 的取值范围，进而确定正弦函数的最小值，列出方程求解 $a$。

✅【答案】

Success

(1) $\omega =\frac{1}{2}$；

(2) $a=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$。

✍【详细解析】

Abstract

解： 先化简函数 $f(x)$ 的解析式： $f(x)=\sqrt{3}\cdot \frac{1+\cos 2\omega x}{2}+\frac{1}{2}\sin 2\omega x+a$ $f(x)=\frac{1}{2}\sin 2\omega x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2\omega x+a+\frac{\sqrt{3}}{2}$ 应用辅助角公式，得： $f(x)=\sin \left(2\omega x+\frac{\pi }{3}\right)+a+\frac{\sqrt{3}}{2}$

(1) 求 $\omega$ 的值： 因为 $x\in \mathbf{R}$，当 $\sin \left(2\omega x+\frac{\pi }{3}\right)=1$ 时，函数 $f(x)$ 取得最高点（最大值）。 令 $2\omega x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbf{Z})$， 解得最高点的横坐标通项为： $x=\frac{\frac{\pi }{6}+2k\pi }{2\omega }=\frac{\pi }{12\omega }+\frac{k\pi }{\omega }(k\in \mathbf{Z})$

由于 $\omega >0$，在 $y$ 轴右侧的第一个最高点对应 $k=0$，其横坐标为： $x_1=\frac{\pi }{12\omega }$ 依题意，此最高点的横坐标为 $\frac{\pi }{6}$，故： $\frac{\pi }{12\omega }=\frac{\pi }{6}⟹12\omega =6⟹\omega =\frac{1}{2}$

(2) 求 $a$ 的值： 由 (1) 知 $\omega =\frac{1}{2}$，则函数解析式为： $f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+a+\frac{\sqrt{3}}{2}$

因为 $x\in \left[-\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}\right]$， 所以内层角的范围为： $-\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}\le x+\frac{\pi }{3}\le \frac{5\pi }{6}+\frac{\pi }{3}$ $0\le x+\frac{\pi }{3}\le \frac{7\pi }{6}$

当 $x+\frac{\pi }{3}\in \left[0,\frac{7\pi }{6}\right]$ 时： 当 $x+\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{6}$ 时，正弦值取得区间内的最小值： $\sin {\left(x+\frac{\pi }{3}\right)}_{\min }=\sin \frac{7\pi }{6}=-\frac{1}{2}$

因此，函数 $f(x)$ 在该区间上的最小值为： $f(x{)}_{\min }=-\frac{1}{2}+a+\frac{\sqrt{3}}{2}$

已知该最小值为 $\sqrt{3}$，列出方程： $-\frac{1}{2}+a+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ $a=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

故 $a$ 的值为 $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：降幂公式与倍角公式、整体思想处理三角函数相位、闭区间上三角函数的值域。
• 核心方法：整体代换法（令 $t=\omega x+\phi$）。
• 避坑指南：第 (1) 问中，“$y$ 轴右侧第一个最高点”对应 $k=0$；第 (2) 问中，在区间 $\left[0,\frac{7\pi }{6}\right]$ 上，正弦函数的最小值在端点 $\frac{7\pi }{6}$ 处取得（值为 $-\frac{1}{2}$），而不是在 $\frac{3\pi }{2}$ 处（$\frac{3\pi }{2}$ 不在定义域内），容易因不画图而误用 $\sin t=-1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题为 $A\sin (\omega x+\phi )$ 型函数的综合题。 结论推广: 对于正弦型复合函数最值问题，先求内层角的范围，再看正弦函数的取值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2007-天津卷理-17 解-三角函数在闭区间上最值
• 2007-湖北卷理-16 解-三角函数在闭区间上最值
• 2008-湖北文-16 解-三角化一区间最值