本题导读
本题核心考查复合函数的单项性质与对数不等式的综合解法。解题时需首先通过指数复合函数 存在最大值这一条件，准确判定底数 的取值范围，进而脱去对数符号求解一元二次不等式，并严格注意对数的真数大于 0 的隐含条件。
📌【题干】
Question
（2006年重庆卷(理)） 设 ，函数 有最大值，则不等式 的解集为.
🔍【思路分析】
破题导航
分析 的最值以确定底数 的范围：
- 令内层函数 。因为 ，所以 ，即内层二次函数有最小值 ，无最大值。
- 进一步看常用对数部分 ：因为 是单调递增函数，所以 ，即幂指数部分只有最小值，没有最大值。
- 外层函数是指数函数 。因为整个复合函数 存在最大值，说明当指数 趋向于无穷大时，外层函数必须趋向于更小的值。因此，外层指数函数必须是单调递减的，由此锁定底数范围为 。 求解对数不等式：
- 目标不等式为 。将 改写为 。
- 因为 ，对数函数单调递减，脱去对数符号时不等号需要改变方向，同时必须保证真数大于 0。
- 联立不等式组 求解。
✅【答案】
Success
（或 ）
✍【详细解析】
Abstract
对于函数 ，设内层幂指数部分为 。 对其中的二次函数进行配方： 因为常用对数函数 在 上单调递增，所以： 这说明指数部分 的取值范围是 ，它有极小值 ，但没有上限（可趋于 ）。
原函数可视为复合函数 。
- 若 ，指数函数 单调递增，当 时， ，此时函数没有最大值，不符合题意。
- 若 ，指数函数 单调递减，当 取得最小值 时， 恰好取得最大值 。
综上所述，必有：
由第一步可知底数 ，则对数函数 在定义域内单调递减。 将原不等式 中的 转化为对数形式：
根据对数函数的单调性（减函数变号）以及真数必须大于 0 的基本约束，原不等式等价于以下不等式组：
解不等式 ①： 运用十字相乘法因式分解得：
解不等式 ②： 对 进行判别式检验： 。 因为抛物线开口向上且与 轴没有交点，所以 对任意 恒成立。
综上所述，不等式组的解集为 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：复合函数“同增异减”的最值判定法则、对数不等式的变号规则、真数隐性定义域。
- 核心方法：分类讨论与等价转化法。
- 避坑指南：
- 易错点一：未能通过 有最大值推导出 ，若误判为 会导致后续不等式方向符号出错。
- 易错点二：在解对数不等式时，必须养成**“真数优先”**的意识。虽然本题中的真数 恰好是恒成立的，但在许多同类填空题中，真数大于 0 的区间往往会切掉一部分解集，漏掉该条件极易造成失分。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源: 本题源于人教A版必修第一册“对数函数”与“指数函数”章节中关于复合函数性质探究的经典交汇拔高题。 结论推广: 对于复合函数 ，若内层函数 只有下界（无上界），则整个复合函数有最大值的充要条件是底数 ；反之，若内层函数只有上界（无下界），则有最大值的充要条件是底数 。
🔗【关联脉络】
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