2006-重庆卷理-14 填-等比数列的通项公式

本题导读

本题核心考查由递推关系求非等差、非等比数列的通项公式。这类形如 $a_{n+1}=p{a}_n+q$ 的递推式，标准解法是利用待定系数法在两边同时加减一个常数，将其构造变形为一个新的等比数列。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(理)） 在数列 $\{a_n\}$ 中，若 $a_1=1$, $a_{n+1}=2a_n+3$ ($n\ge 1$)，则该数列的通项 $a_n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

方法一：待定系数构造法 观察递推式结构 $a_{n+1}=2a_n+3$，设它可以恒等变形为 $a_{n+1}+\lambda =2(a_n+\lambda )$ 的形式。 展开对比常数项求得 $\lambda =3$。 得到新数列 $\{a_n+3\}$ 是以 $a_1+3$ 为首项， $2$ 为公比的等比数列。 求出新数列通项后，移项即可得到 $a_n$。

方法二：归纳猜想法（不完全归纳法） 依据递推关系分别算出前几项的具体数值： $a_1=1,a_2=5,a_3=13,a_4=29$。 观察数据与 $2$ 的幂次方的接近程度：发现每项加 $3$ 后分别为 $4,8,16,32$，对应的正好是 $2^{n+1}$。 由此猜想出通项规律。

✅【答案】

Success

$2^{n+1}-3$

✍【详细解析】

Abstract

方法一（待定系数构造法）： 已知递推关系为： $a_{n+1}=2a_n+3$

假设该递推式可以变形为如下关于新等比数列的形式： $a_{n+1}+\lambda =2(a_n+\lambda )$ 将右边展开移项化简得： $a_{n+1}=2a_n+2\lambda -\lambda ⟹a_{n+1}=2a_n+\lambda$

对比已知原式 $a_{n+1}=2a_n+3$，对应常数项可得： $\lambda =3$

因此，原递推式可以恒等变形为： $a_{n+1}+3=2(a_n+3)$

这说明新数列 $\{a_n+3\}$ 是一个以 $a_1+3$ 为首项，以 $2$ 为公比的等比数列。 计算新数列的首项： $\text{首项}=a_1+3=1+3=4$

根据等比数列通项公式，新数列的通项为： $a_n+3=4\cdot 2^{n-1}$ 将 $4$ 改写为 $2^2$ 进行同底数幂相乘： $a_n+3=2^2\cdot 2^{n-1}=2^{n+1}$

最后将左边的常数 $3$ 移项至右边，解得原数列的通项公式为： $a_n=2^{n+1}-3$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：一阶线性递推数列 $a_{n+1}=p{a}_n+q$ 的构造与转化。
• 核心方法：待定系数换元法。
• 避坑指南：在将新数列化简时， $4\cdot 2^{n-1}$ 极易因为粗心合错指数写成 $2^n$ 或 $8^{n-1}$。必须严格遵循底数相同、指数相加的幂运算规则化简为 $2^{n+1}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于人教A版选择性必修第二册“数列”章节中关于构造法求特殊递推数列通项的经典能力提高题。 结论推广: 对于任何形如 $a_{n+1}=p{a}_n+q$ （其中 $p\ne 1,q\ne 0$）的递推数列，均可通过两边同时加减 $\frac{q}{p-1}$ 构造出公比为 $p$ 的等比数列进行求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.07 一般数列的性质
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2012-上海卷文-14 填-递推数列与不动点
• 2013-湖南卷理-15 填-数列递推关系