2006-重庆卷理-13 填-同角三角函数的基本关系与象限判定

本题导读

本题核心考查三角恒等变换中的“配角/凑角”思想。解题关键在于巧妙发现未知角 $(\alpha +\frac{\pi }{4})$ 可以通过已知组合角 $(\alpha +\beta )$ 与 $(\beta -\frac{\pi }{4})$ 做差来表示，从而避免将未知角生硬拆开的繁琐过程。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(理)） 已知 $\alpha ,\beta \in \left(\frac{3\pi }{4},\pi \right)$， $\sin (\alpha +\beta )=-\frac{3}{5}$， $\sin \left(\beta -\frac{\pi }{4}\right)=\frac{12}{13}$，则 $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

分析角的关系（凑角法）： 观察已知角与所求角之间的代数逻辑： $\left(\alpha +\beta \right)-\left(\beta -\frac{\pi }{4}\right)=\alpha +\beta -\beta +\frac{\pi }{4}=\alpha +\frac{\pi }{4}$ 因此，所求的 $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$ 可以等价转化为： $\cos \left[(\alpha +\beta )-(\beta -\frac{\pi }{4})\right]$。 限定角的范围锁定符号：

• 由 $\alpha ,\beta \in \left(\frac{3\pi }{4},\pi \right)$，推导复合角 $(\alpha +\beta )$ 和 $(\beta -\frac{\pi }{4})$ 的取值区间，从而根据同角三角函数的平方关系求出对应的 $\cos (\alpha +\beta )$ 和 $\cos (\beta -\frac{\pi }{4})$ 的确切正负符号与数值。 两角差的余弦公式展开： 利用公式 $\cos (x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$ 计算得出最终数值。

✅【答案】

Success

$-\frac{56}{65}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\alpha ,\beta \in \left(\frac{3\pi }{4},\pi \right)$，

1. 对于角 $\alpha +\beta$： 将不等式相加得： $\alpha +\beta \in \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$。 说明复合角 $\alpha +\beta$ 落在第四象限。在第四象限内，余弦值为正数。 因为 $\sin (\alpha +\beta )=-\frac{3}{5}$，所以： $\cos (\alpha +\beta )=\sqrt{1-{\sin }^2(\alpha +\beta )}=\sqrt{1-{\left(-\frac{3}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5}$

2. 对于角 $\beta -\frac{\pi }{4}$： 由 $\frac{3\pi }{4}<\beta <\pi$，两边同时减去 $\frac{\pi }{4}$ 得： $\frac{\pi }{2}<\beta -\frac{\pi }{4}<\frac{3\pi }{4}$ 说明复合角 $\beta -\frac{\pi }{4}$ 落在第二象限。在第二象限内，余弦值为负数。 因为 $\sin \left(\beta -\frac{\pi }{4}\right)=\frac{12}{13}$，所以： $\cos \left(\beta -\frac{\pi }{4}\right)=-\sqrt{1-{\sin }^2\left(\beta -\frac{\pi }{4}\right)}=-\sqrt{1-{\left(\frac{12}{13}\right)}^2}=-\frac{5}{13}$

根据角的恒等关系，有： $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left[(\alpha +\beta )-\left(\beta -\frac{\pi }{4}\right)\right]$

利用两角差的余弦展开式： $=\cos (\alpha +\beta )\cos \left(\beta -\frac{\pi }{4}\right)+\sin (\alpha +\beta )\sin \left(\beta -\frac{\pi }{4}\right)$

将前面求得的值完整代入计算： $=\left(\frac{4}{5}\right)\times \left(-\frac{5}{13}\right)+\left(-\frac{3}{5}\right)\times \left(\frac{12}{13}\right)$ $=-\frac{20}{65}-\frac{36}{65}=-\frac{56}{65}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：“已知角表达未知角”的配角思想、三角函数在各象限的符号规约。
• 核心方法：两角差的余弦公式。
• 避坑指南：本题有两处极易丢分的陷阱：
• 陷阱一：范围判定粗心。很多同学在求 $\cos (\beta -\frac{\pi }{4})$ 时，习惯性盲目认为其在第一象限取正值 $\frac{5}{13}$，从而导致算出的结果完全错误。务必严密计算复合角的范围以决定正负号。
• 陷阱二：强行拆角导致无法求解。如果一开始尝试把 $\sin (\alpha +\beta )$ 和 $\sin (\beta -\frac{\pi }{4})$ 用单角的正余弦全部展开列方程组，将直接导致代数式膨胀到无法手动化简的地步。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于人教A版必修第二册“三角恒等变换”章节中关于变角技巧的经典能力大题。 结论推广: 解析三角题时，遵循“变角优先于变名”的战略原则。常见的配角模型还包括： $\alpha =(\alpha +\beta )-\beta$， $2\alpha =(\alpha +\beta )+(\alpha -\beta )$ 等。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-北京文-09 填-同角三角求值
• 2011-重庆卷文-12 填-同角三角求值
• 2013-大纲卷理-13 填-同角三角函数