2006-重庆卷理-12 填-分式数列极限的求法

本题导读

本题核心考查等差数列求和公式与数列极限的交汇运算。解题的关键在于先将分子上的连续正奇数求和序列化简为关于 $n$ 的单一封闭代数式，然后利用分式数列求极限的核心法则（分子分母同除以最高次幂）求出极限值。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(理)） ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1+3+\cdots +(2n-1)}{2n^2-n+1}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

化简分子序列：观察分子 $1+3+\cdots +(2n-1)$ 是首项为 1，公差为 2，项数为 $n$ 的等差数列。利用等差数列求和公式将其合并为 $n^2$。 写出整体分式：将分子化简结果代回原式，极限转化为求 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n^2}{2n^2-n+1}$。 求无穷大分式极限：属于 $\frac{\infty }{\infty }$ 型极限。分子与分母的最高次幂均为二次，直接取最高次幂的系数比，或者分子分母同时除以 $n^2$ 变形求解。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设分子为 $S_n=1+3+5+\cdots +(2n-1)$。 这是一个等差数列，其中首项 $a_1=1$，末项 $a_n=2n-1$，项数为 $n$。 根据等差数列求和公式： $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n[1+(2n-1)]}{2}=\frac{n\cdot 2n}{2}=n^2$

将分子化简后的结果 $n^2$ 代入原极限式中： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1+3+\cdots +(2n-1)}{2n^2-n+1}={\lim }_{n\to \infty }\frac{n^2}{2n^2-n+1}$

分子分母同时除以最高次幂 $n^2$： $={\lim }_{n\to \infty }\frac{\frac{n^2}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2}-\frac{n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}={\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{2-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}$

根据基本极限基本性质，当 $n\to \infty$ 时， $\frac{1}{n}\to 0$ 且 $\frac{1}{n^2}\to 0$，故： $=\frac{1}{2-0+0}=\frac{1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：连续正奇数求和公式（前 $n$ 个正奇数的和恒等于 $n^2$）、无穷大分式数列极限法则。
• 核心方法：分子分母最高次幂系数比法。
• 避坑指南：一是在第一步计算项数时切忌数错， $(2n-1)$ 对应的是第 $n$ 项，不是 $2n$ 项；二是在求极限时，不能想当然地只看分母直接得出极限为 0，必须明确当分子分母最高次数相同时，极限值等于最高次项的系数之比（即 $\frac{1}{2}$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于旧教材必修五“数列”与选修“极限”章节的交汇基础常规习题，新教材中通常出现在数学归纳法或导数数列综合前置微积分概念中。 结论推广: 对于分式型未知数极限 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{A{n}^k+\cdots }{B{n}^k+\cdots }$，若分子分母最高次数同为 $k$，则其极限值恒为 $\frac{A}{B}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2007-天津卷理-13 填-数列极限
• 2012-重庆卷(理)-12 填-数列极限
• 2013-上海卷理-01 填-无穷数列极限运算