2006-重庆卷理-10 单-代数式的因式分解与换元变形

本题导读

本题核心考查多元条件不等式的最值求解。解题的关键在于通过对复杂已知等式进行分组因式分解，理清变量之间的内在代数结构，进而采用整体换元与基本不等式完成精细的代数放缩。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(理)） 若 $a,b,c>0$ 且 $a(a+b+c)+bc=4-2\sqrt{3}$，则 $2a+b+c$ 的最小值为 ()

A. $\sqrt{3}-1$　　　　　　B. $\sqrt{3}+1$　　　　　　C. $2\sqrt{3}+2$　　　　　　D. $2\sqrt{3}-2$

🔍【思路分析】

破题导航

已知等式因式分解： 展开已知等式： $a^2+ab+ac+bc=4-2\sqrt{3}$。 采用分组分解法： $(a^2+ab)+(ac+bc)=a(a+b)+c(a+b)=(a+b)(a+c)=4-2\sqrt{3}$。 目标函数结构转化： 目标代数式是 $2a+b+c$。 巧妙拆项组合： $2a+b+c=(a+b)+(a+c)$。 整体换元运用基本不等式： 设 $x=a+b>0$，$y=a+c>0$，则已知条件转化为 $xy=4-2\sqrt{3}$，目标函数转化为求 $x+y$ 的最小值。 根据基本不等式 $x+y\ge 2\sqrt{xy}$ 即可直观快速求出答案。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

已知等式为： $a(a+b+c)+bc=4-2\sqrt{3}$ 将左边展开： $a^2+ab+ac+bc=4-2\sqrt{3}$ 前两项提取 $a$，后两项提取 $c$： $a(a+b)+c(a+b)=4-2\sqrt{3}$ 提取公因式 $(a+b)$： $(a+b)(a+c)=4-2\sqrt{3}$

要求 $2a+b+c$ 的最小值，我们可以将 $2a$ 拆开，与 $b,c$ 分别配对： $2a+b+c=(a+b)+(a+c)$

因为 $a,b,c>0$，所以 $a+b>0$ 且 $a+c>0$。 此时，令 $x=a+b$，$y=a+c$，则：

• 已知条件可精简为： $xy=4-2\sqrt{3}$

• 目标代数式可精简为： $x+y$

根据基本不等式（均值不等式），因为 $x,y>0$，有： $x+y\ge 2\sqrt{xy}$ 将 $xy=4-2\sqrt{3}$ 代入上式中： $x+y\ge 2\sqrt{4-2\sqrt{3}}$

为了去掉根号，需要将双重根号内的代数式进行完全平方化简： $4-2\sqrt{3}=3-2\sqrt{3}+1=(\sqrt{3}{)}^2-2\sqrt{3}\times 1+1^2=(\sqrt{3}-1{)}^2$

将完全平方式代回最值不等式中： $x+y\ge 2\sqrt{(\sqrt{3}-1{)}^2}=2(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}-2$

当且仅当 $x=y$（即 $a+b=a+c⟹b=c$）时，等号正式成立。此时结合 $xy=4-2\sqrt{3}$，可以通过选取适当的正数 $a,b,c$ 满足该边界。 所以， $2a+b+c$ 的最小值为 $2\sqrt{3}-2$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：多项式的分组分解因式技能、整体换元法的化简思想、双重根号的开方运算。
• 核心方法：基本不等式 $x+y\ge 2\sqrt{xy}$。
• 避坑指南：本题最容易卡壳的地方在于无法直接看出已知等式的因式分解结构，如果盲目对 $2a+b+c$ 使用三元均值不等式或者强行消元，会使整个代数式变得极其繁琐。牢记：解析几何或代数多变量问题中，看到类似于 $a^2+ab+ac+bc$ 的交错项，优先考虑分组分解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于人教A版必修第一册“一元二次函数、方程和不等式”章节中关于基本不等式应用的高考经典能力拔高题。 结论推广: 若已知 $(a+b)(a+c)=k$（ $k$ 为正定常数， $a,b,c>0$），则代数式 $2a+b+c$ 的最小值恒为 $2\sqrt{k}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2007-四川卷理-04 单-因式分解代数变形
• 2007-陕西卷理-04 单-因式分解代数变形