2006-重庆卷理-07 单-向量垂直与对称的几何特征

本题导读

本题核心考查平面向量的夹角公式和模长约束。在几何上，“与两已知向量夹角相等”的单位向量，其本质是落在两向量夹角的角平分线（或外角平分线）方向上的单位向量。通过分析已知向量的对称结构，能实现极速化简。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(理)） 与向量 $\mathbf{a}=\left(\frac{7}{2},\frac{1}{2}\right)$, $\mathbf{b}=\left(\frac{1}{2},-\frac{7}{2}\right)$ 的夹角相等，且模为 1 的向量是 ()

A. $\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)$　　　　　　　　　　B. $\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)$ 或 $\left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)$

C. $\left(\frac{2\sqrt{2}}{3},-\frac{1}{3}\right)$　　　　　　　　　　D. $\left(\frac{2\sqrt{2}}{3},-\frac{1}{3}\right)$ 或 $\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3},\frac{1}{3}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

方法一：几何特征与角平分线分析法 首先计算已知向量的模长： $|\mathbf{a}|=\sqrt{{\left(\frac{7}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{50}{4}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$。同理可得 $|\mathbf{b}|=\frac{5\sqrt{2}}{2}$。两向量模长相等。 因为 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|$，根据菱形对角线平分内角的几何性质，向量 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 必然指向内角平分线方向；向量 $\mathbf{a}-\mathbf{b}$ 必然指向外角平分线方向。 将这两个方向向量分别单位化（模长化为 1），即可直接得到满足夹角相等的所有单位向量。

方法二：坐标方程代数法 设所求的单位向量为 $\mathbf{e}=(x,y)$。 依据“模为 1”列出方程一： $x^2+y^2=1$。 依据“与 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 夹角相等”且 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|$，由夹角公式 $\cos ⟨\mathbf{a},\mathbf{e}⟩=\cos ⟨\mathbf{b},\mathbf{e}⟩$ 可化简为数量积相等： $\mathbf{a}\cdot \mathbf{e}=\mathbf{b}\cdot \mathbf{e}$。列出方程二，联立求解。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

方法一（几何角平分线法）： 计算已知向量 $\mathbf{a}=\left(\frac{7}{2},\frac{1}{2}\right)$， $\mathbf{b}=\left(\frac{1}{2},-\frac{7}{2}\right)$ 的模长： $|\mathbf{a}|=\sqrt{{\left(\frac{7}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{50}{4}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$ $|\mathbf{b}|=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{7}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{50}{4}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$ 因为两已知向量的模长完全相等（ $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|$），根据向量加减法的几何意义，与它们夹角相等的向量只能落在它们的内角平分线或外角平分线方向上。

• 情况一：落在内角平分线方向 其方向向量可取为 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$： $\mathbf{a}+\mathbf{b}=\left(\frac{7}{2}+\frac{1}{2},\frac{1}{2}-\frac{7}{2}\right)=(4,-3)$ 该方向的单位向量为： ${\mathbf{e}}_1=\pm \frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{|\mathbf{a}+\mathbf{b}|}=\pm \frac{(4,-3)}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}=\pm \left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)$ 即 $\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)$ 或 $\left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)$。

• 情况二：落在外角平分线方向 其方向向量可取为 $\mathbf{a}-\mathbf{b}$： $\mathbf{a}-\mathbf{b}=\left(\frac{7}{2}-\frac{1}{2},\frac{1}{2}-\left(-\frac{7}{2}\right)\right)=(3,4)$ 该方向的单位向量为： ${\mathbf{e}}_2=\pm \frac{\mathbf{a}-\mathbf{b}}{|\mathbf{a}-\mathbf{b}|}=\pm \frac{(3,4)}{\sqrt{3^2+4^2}}=\pm \left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$ 检查选项可知，选项中均没有提供此方向对应的坐标组合。

综合两组结果，符合选项给出的唯一答案是 $\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)$ 或 $\left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等模长向量的加减法几何背景（平行四边形化为菱形）、单位向量的定义。
• 核心方法：菱形对角线角平分性质法。
• 避坑指南：本题最容易出现的错误是漏解。在平面上，到两条已知直线夹角相等的方向必定有两个互相垂直的轴（内角平分线与外角平分线），因此每个方向对应一对相反向量，理论上共有 4 个满足要求的单位向量。看到“或”字结构的选项 B 和 D，应当敏感地意识到单向量选项 A 和 C 属于漏解而被直接排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于人教A版必修第二册“平面向量的应用”中关于向量数量积与夹角基本定义的拓展变形题。 结论推广: 若已知非零向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的模长相等，则与它们夹角相等的向量必定与 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 共线（内角平分）或与 $\mathbf{a}-\mathbf{b}$ 共线（外角平分）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2007-广东文-04 单-向量数量积与夹角
• 2007-辽宁卷理-03 单-向量夹角计算公式
• 2009-大纲Ⅰ文-08 单-向量夹角