2006-重庆卷理-06 单-频数与频率的关系

本题导读

本题核心考查统计学中频率分布直方图的识图与计算能力。解题关键在于明确直方图中每个小矩形的面积代表该组的频率，进而利用“频数 = 总数 × 频率”求解人数。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(理)） 为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区 100 名年龄为 17.5 岁 -18 岁的男生体重 (kg)，得到频率分布直方图如下： 根据上图可得这 100 名学生中体重在 $[56.5,64.5)$ 的学生人数是 ()

A. 20　　　　　　　B. 30　　　　　　　C. 40　　　　　　　D. 50

🔍【思路分析】

破题导航

计算组距：观察横轴的分组刻度，如 $56.5-54.5=2$，确定组距 $d=2$。 提取指定区间的小矩形高度：区间 $[56.5,64.5)$ 包含以下四个子区间：

• $[56.5,58.5)$，高度为 $0.03$
• $[58.5,60.5)$，高度为 $0.05$
• $[60.5,62.5)$，高度为 $0.05$
• $[62.5,64.5)$，高度为 $0.07$ 计算总频率：利用公式 $\text{频率}=\sum (\text{矩形高度}\times \text{组距})$，求出该区间内的总频率。 计算频数（人数）：将总人数（样本容量 $100$）乘以总频率即可得到答案。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由频率分布直方图的横轴刻度可知，组距为： $\text{组距}=56.5-54.5=58.5-56.5=2$

观察直方图，区间 $[56.5,64.5)$ 对应的四个小矩形的高度（$\frac{\text{频率}}{\text{组距}}$）分别为： $0.03,0.05,0.05,0.07$。

由于矩形面积表示频率，该范围内的总频率 $P$ 为： $P=(0.03+0.05+0.05+0.07)\times \text{组距}$ $P=0.20\times 2=0.4$

已知抽查的总人数（样本容量）为 $N=100$， 所以体重在 $[56.5,64.5)$ 范围内的学生人数为： $\text{人数}=N\times P=100\times 0.4=40\text{ 名}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：频率分布直方图纵轴的物理几何意义（$\frac{\text{频率}}{\text{组距}}$）。
• 核心方法：面积累加求频率法。
• 避坑指南：最典型的易错点是直接将小矩形的高度加起来当成频率（即误算成 $0.03+0.05+0.05+0.07=0.2$），从而错选 A。必须牢记纵轴是“频率/组距”，计算频率时千万不能漏掉乘以组距 $2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于人教A版必修第三册“统计”章节中频率分布直方图应用的经典常规高频题。 结论推广: 频率分布直方图中所有小矩形的面积之和恒等于 $1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

类题演练 (Links)

• 2007-山东文-08 单-频率分布直方图读图
• 2007-山东卷理-08 单-频率频数转化
• 2007-湖北文-06 单-频率分布直方图