2006-重庆卷理-01 单-德·摩根定律

本题导读

本题核心考查有限集合的基本运算，包含补集和并集的混合运算。可以通过直接法分别求解各集合的补集再求并集，也可以借助德·摩根定律进行等价转化。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(理)） 已知集合 $U=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, $A=\{2,4,5,7\}$, $B=\{3,4,5\}$，则 $({\complement }_{U}A)\cup ({\complement }_{U}B)=($\quad\quad$)$

A. $\{1,6\}$　　　　B. $\{4,5\}$　　　　C. $\{2,3,4,5,7\}$　　　　D. $\{1,2,3,6,7\}$

🔍【思路分析】

破题导航

方法一：逐步运算法 计算集合 $A$ 在全集 $U$ 中的补集 ${\complement }_{U}A$。 计算集合 $B$ 在全集 $U$ 中的补集 ${\complement }_{U}B$。 求这两个补集的并集。

方法二：德·摩根定律法 根据德·摩根定律，有 $({\complement }_{U}A)\cup ({\complement }_{U}B)={\complement }_U(A\cap B)$。 先计算交集 $A\cap B$，然后再求该交集在全集 $U$ 中的补集。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

方法一（逐步运算）： 因为 $U=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, $A=\{2,4,5,7\}$， 所以 ${\complement }_{U}A=\{1,3,6\}$。 因为 $B=\{3,4,5\}$， 所以 ${\complement }_{U}B=\{1,2,6,7\}$。 则 $({\complement }_{U}A)\cup ({\complement }_{U}B)=\{1,3,6\}\cup \{1,2,6,7\}=\{1,2,3,6,7\}$。

方法二（德·摩根定律）： 根据集合运算规律， $({\complement }_{U}A)\cup ({\complement }_{U}B)={\complement }_U(A\cap B)$。 因为 $A=\{2,4,5,7\}$, $B=\{3,4,5\}$， 所以 $A\cap B=\{4,5\}$。 则 ${\complement }_U(A\cap B)={\complement }_U\{4,5\}=\{1,2,3,6,7\}$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：集合的运算性质（补集与并集）。
• 核心方法：德·摩根定律的恒等变形。
• 避坑指南：计算补集时容易漏掉全集中的元素（如本题中的 $1$ 和 $6$），使用方法二可以有效降低多步计算导致的粗心错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于人教A版必修第一册“集合的基本运算”章节的课后基础练习题。 结论推广: 德·摩根定律 $({\complement }_{U}A)\cup ({\complement }_{U}B)={\complement }_U(A\cap B)$ 与 $({\complement }_{U}A)\cap ({\complement }_{U}B)={\complement }_U(A\cup B)$ 是简化集合混合运算的通用工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅱ文-02 单-集合交并补运算
• 2007-重庆文-02 单-集合补集与交集
• 2007-陕西卷理-02 单-集合补集运算