2006-重庆文-12 单-均值不等式最值

本题导读

本题考查均值不等式，以及配凑。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(文)） 若 $a,b,c>0$ 且 $a^2+2ab+2ac+4bc=12$，则 $a+b+c$ 的最小值是()

A. $2\sqrt{3}$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$。
2. 已知 $a^2+2ab+2ac+4bc=a^2+2ab+2ac+2bc+2bc$，与原式比较： $(a+b+c{)}^2=(a^2+2ab+2ac+4bc)+(b^2+c^2-2bc)=12+(b-c{)}^2⩾12$。
3. 当 $b=c$ 时取等号，$(a+b+c{)}^2=12$，$a+b+c=2\sqrt{3}$（$a+b+c>0$）。
4. 取等可达到：令 $b=c=t$，$a^2+4at+4t^2=(a+2t{)}^2=12$，$a+2t=2\sqrt{3}$，即 $a+b+c=a+2t=2\sqrt{3}$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

注意到 $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc.$ 而 $a^2+2ab+2ac+4bc=a^2+2ab+2ac+2bc+2bc$，故 $(a+b+c{)}^2=\left(a^2+2ab+2ac+4bc\right)+\left(b^2+c^2-2bc\right)=12+(b-c{)}^2⩾12.$ 当 $b=c$ 时取等号．此时令 $b=c=t$，由 $a^2+4at+4t^2=(a+2t{)}^2=12$ 得 $a+2t=2\sqrt{3}$，即 $a+b+c=a+2t=2\sqrt{3}$． （例如取 $b=c=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$a=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，则 $a+b+c=2\sqrt{3}$，且原式 $=12$ 成立．） 所以 $a+b+c$ 的最小值为 $2\sqrt{3}$，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：均值不等式最值

核心方法：$a^2+2ab+2ac+4bc=(a+b+c{)}^2-(b-c{)}^2=12$，当 $b=c$ 时 $a+b+c$ 最小 $=2\sqrt{3}$

避坑指南：配凑 $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$，与原式差 $b^2+c^2-2bc=(b-c{)}^2⩾0$；取等 $b=c$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 均值不等式与配凑，三元最值

结论推广: $a^2+2ab+2ac+4bc=(a+b+c{)}^2-(b-c{)}^2$

方法推广: 配完全平方求最值，取等条件 $b=c$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

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