2006-辽宁卷理-21 解-三角形面积的坐标几何求解

本题导读

本题是一道将等差数列、导数极值、二次函数区间最值以及解析几何面积有机结合的综合压轴题。通过等差公差关系消元后，利用导数锁定极值点与区间最值点坐标，再由几何平行条件建立方程求解。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(理)） 已知函数 $f(x)=\frac{1}{3}a{x}^3+b{x}^2+cx+d$，其中 $a,b,c$ 是以 $d$ 为公差的等差数列，且 $a>0,d>0$. 设 $x_0$ 为 $f(x)$ 的极小值点. 在 $\left[1-\frac{2b}{a},0\right]$ 上， $f^{\prime }(x)$ 在 $x_1$ 处取得最大值，在 $x_2$ 处取得最小值. 将 $(x_0,f(x_0))$, $(x_1,f^{\prime }(x_1))$, $(x_2,f^{\prime }(x_2))$ 依次记为 $A,B,C$.

(1) 求 $x_0$；

(2) 若 $△ABC$ 有边平行于 $x$ 轴，且面积为 $2+\sqrt{3}$，求 $a,d$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

第一问：求导得 $f^{\prime }(x)=a{x}^2+2bx+c$。利用等差数列关系将 $b,c$ 表达为 $b=a+d,c=a+2d$。求出导函数的零点，结合开口方向判定极小值点 $x_0$。 第二问：确定闭区间范围，结合二次函数对称轴位置，比较端点到对称轴的距离，锁定最大值点 $x_1$ 与最小值点 $x_2$。写出 $A,B,C$ 三点坐标，由平行于 $x$ 轴的条件判定纵坐标相等关系，结合面积公式列方程组求解。

✅【答案】

Success

$A,B,C$ 三点的坐标分别为：$A\left(-1,-\frac{1}{3}a\right),B(0,a+2d),C\left(-1-\frac{d}{a},-\frac{d^2}{a}\right)$因为 $\triangle

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 对函数 $f(x)$ 求导得： $f^{\prime }(x)=a{x}^2+2bx+c$ 因为 $a,b,c$ 是以 $d$ 为公差的等差数列，所以： $b=a+d,c=a+2d$ 代入导函数中得： $f^{\prime }(x)=a{x}^2+2(a+d)x+(a+2d)$

令 $f^{\prime }(x)=0$，其判别式为： $\Delta =[2(a+d){]}^2-4a(a+2d)=4d^2$ 因为 $d>0$，所以 $\Delta >0$，方程有两个互异实根： $x=\frac{-2(a+d)\pm 2d}{2a}⟹x_1^{\prime }=-1,x_2^{\prime }=-1-\frac{2d}{a}$ 由于 $a>0,d>0$，显然 $-1-\frac{2d}{a}<-1$。 由于导函数 $f^{\prime }(x)$ 的图象开口向上，当 $x$ 从左到右穿过各零点时， $f^{\prime }(x)$ 的符号由正变负再变正。 故 $x=-1-\frac{2d}{a}$ 为极大值点， $x=-1$ 为极小值点。 所以： $x_0=-1$

(2) 将 $b=a+d$ 代入已知闭区间的左端点： $1-\frac{2b}{a}=1-\frac{2(a+d)}{a}=-1-\frac{2d}{a}$ 故已知闭区间为 $\left[-1-\frac{2d}{a},0\right]$。

二次函数 $f^{\prime }(x)=a{x}^2+2(a+d)x+(a+2d)$ 的图象开口向上，其对称轴为： $x=-\frac{2(a+d)}{2a}=-1-\frac{d}{a}$ 计算区间端点到对称轴的距离：

• 左端点 $-1-\frac{2d}{a}$ 到对称轴的距离为 $\frac{d}{a}$；
• 右端点 $0$ 到对称轴的距离为 $1+\frac{d}{a}$。

因为 $1+\frac{d}{a}>\frac{d}{a}$，且对称轴 $x=-1-\frac{d}{a}$ 位于区间内部， 所以，最大值在远离对称轴的右端点 $x=0$ 处取得，即： $x_1=0⟹f^{\prime }(x_1)=f^{\prime }(0)=c=a+2d$ 最小值在对称轴顶点处取得，即： $x_2=-1-\frac{d}{a}⟹f^{\prime }(x_2)=-\frac{d^2}{a}$

再将 $x_0=-1$ 代入原函数 $f(x)$ 求得点 $A$ 的纵坐标： $f(-1)=-\frac{1}{3}a+b-c+d=-\frac{1}{3}a+(a+d)-(a+2d)+d=-\frac{1}{3}a$

综上， $A,B,C$ 三点的坐标分别为： $A\left(-1,-\frac{1}{3}a\right),B(0,a+2d),C\left(-1-\frac{d}{a},-\frac{d^2}{a}\right)$

因为 $△ABC$ 有一边平行于 $x$ 轴，且 $a>0,d>0$，容易验证 $y_B=a+2d>0$，而 $y_A<0,y_C<0$。 故只能是 $A,C$ 两点纵坐标相等，即 $AC\parallel x$ 轴： $-\frac{1}{3}a=-\frac{d^2}{a}⟹a^2=3d^2⟹a=\sqrt{3}d$

此时底边 $AC$ 的长度为： $|AC|=|x_A-x_C|=\left|-1-\left(-1-\frac{d}{a}\right)\right|=\frac{d}{a}=\frac{d}{\sqrt{3}d}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 三角形的高 $h$ 为点 $B$ 到直线 $AC$ 的距离： $h=y_B-y_A=(a+2d)-\left(-\frac{1}{3}a\right)=\frac{4}{3}a+2d=\frac{4}{3}(\sqrt{3}d)+2d=\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}+2\right)d$

根据三角形面积公式： $S=\frac{1}{2}|AC|\cdot h=\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{3}\times \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}+2\right)d=\frac{2+\sqrt{3}}{3}d$ 已知面积为 $2+\sqrt{3}$，得： $\frac{2+\sqrt{3}}{3}d=2+\sqrt{3}⟹d=3$ 代入 $a=\sqrt{3}d$ 得： $a=3\sqrt{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等差数列代数消元、导数确定三次函数极值、二次函数闭区间最值的轴距比较。
• 核心方法：整体代换法、分类排查法。
• 避坑指南：在确定最大值点 $x_1$ 时，不可盲目套用对称性。需严格计算两端点到对称轴的距离，发现右端点 $x=0$ 距对称轴更远，从而确定最大值在 $x=0$ 处取得。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是由三次多项式极值与导数二次函数区间最值交汇而成的经典考题。通过设置变系数区间的边界，全面考查代数多变元的化简与控制力。 结论推广: 对于开口向上的二次函数，其在闭区间上的最大值必定在远离对称轴的端点处取得。若区间左端点由参数动态控制，可通过作差法精确锁定最值边界。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 19.01 等差数列全总结
• 05.02 函数的四大性质
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2007-陕西卷理-21 解-三角形面积最值求解
• 2008-大纲Ⅱ文-22 解-椭圆直线交点与面积最值