2006-辽宁卷理-20 解-点到直线的距离公式与最值求解

本题导读

本题考查抛物线与圆的位置关系、向量垂直的判定及代数最值的求解。第一问通过向量模相等的几何意义证明向量正交，进而通过圆的方程结构判定直径；第二问利用抛物线参数表达圆心坐标，利用点到直线的距离公式将其转化为一元二次函数的最值问题以求解参数 $p$。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(理)） 已知点 $A(x_1,y_1)$、 $B(x_2,y_2)$ ($x_1,x_2\ne 0$) 是抛物线 $y^2=2px$ ($p>0$) 上的两个动点， $O$ 是坐标原点，向量 $\overrightarrow{OA}$、 $\overrightarrow{OB}$ 满足 $\left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right|=\left|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\right|$. 设圆 $C$ 的方程为 $x^2+y^2-(x_1+x_2)x-(y_1+y_2)y=0$.

(1) 证明线段 $AB$ 是圆 $C$ 的直径；

(2) 当圆 $C$ 的圆心到直线 $x-2y=0$ 的距离的最小值为 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ 时，求 $p$ 的值.

🔍【思路分析】

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第一问：条件 $\left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right|=\left|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\right|$ 两边平方，根据向量数量积性质可得 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$，即 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$。将圆的方程整理，验证 $A,B$ 两点是否在圆上，并结合圆心与中点坐标关系证得直径。 第二问：由圆的方程直接写出圆心坐标 $C\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$。利用 $x_1=\frac{y_1^2}{2p},x_2=\frac{y_2^2}{2p}$ 将圆心坐标全部用纵坐标 $y_1,y_2$ 表达。结合第一问的 $y_1{y}_2=-4p^2$，利用点到直线的距离公式建立距离关于变量的和差函数，通过换元法或配方法求出其最小值，从而反解出 $p$。

✅【答案】

Success

所以p= 2

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：对已知向量模的等式 $\left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right|=\left|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\right|$ 两边平方得： ${\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)}^2={\left(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\right)}^2$ ${\overrightarrow{OA}}^2+2\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+{\overrightarrow{OB}}^2={\overrightarrow{OA}}^2-2\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+{\overrightarrow{OB}}^2$ 化简可得： $4\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0⟹\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$ 用坐标表示为： $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0\text{(1)}$

将圆 $C$ 的方程 $x^2+y^2-(x_1+x_2)x-(y_1+y_2)y=0$ 进行配方整理： ${\left(x-\frac{x_1+x_2}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{y_1+y_2}{2}\right)}^2=\frac{(x_1+x_2{)}^2+(y_1+y_2{)}^2}{4}$ 展开并移项变形可化为圆的直径式方程标准态： $(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$ $x^2-(x_1+x_2)x+x_1{x}_2+y^2-(y_1+y_2)y+y_1{y}_2=0$ $x^2+y^2-(x_1+x_2)x-(y_1+y_2)y+(x_1{x}_2+y_1{y}_2)=0$ 将①式 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$ 代入上式，显然与已知圆 $C$ 的方程完全一致。 由直径式方程的几何意义可知，线段 $AB$ 是圆 $C$ 的直径。

(2) 解：由圆 $C$ 的方程可得其圆心坐标为 $C\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$。 因为点 $A,B$ 在抛物线 $y^2=2px$ 上，所以 $x_1=\frac{y_1^2}{2p}$， $x_2=\frac{y_2^2}{2p}$。 代入 ① 式中： $\frac{y_1^2}{2p}\cdot \frac{y_2^2}{2p}+y_1{y}_2=0⟹\frac{(y_1{y}_2{)}^2}{4p^2}+y_1{y}_2=0$ 因为 $x_1,x_2\ne 0$，所以 $y_1,y_2\ne 0⟹y_1{y}_2\ne 0$。 两边同除以 $y_1{y}_2$ 得： $\frac{y_1{y}_2}{4p^2}+1=0⟹y_1{y}_2=-4p^2\text{(2)}$

将圆心 $C$ 的横坐标进行代换： $x_C=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{\frac{y_1^2}{2p}+\frac{y_2^2}{2p}}{2}=\frac{y_1^2+y_2^2}{4p}=\frac{(y_1+y_2{)}^2-2y_1{y}_2}{4p}$ 将 ② 式代入可得： $x_C=\frac{(y_1+y_2{)}^2-2(-4p^2)}{4p}=\frac{(y_1+y_2{)}^2+8p^2}{4p}$ 圆心 $C$ 的纵坐标为 $y_C=\frac{y_1+y_2}{2}$。

设 $u=y_1+y_2$，则圆心坐标可表示为关于单变元 $u$ 的代数式： $C\left(\frac{u^2+8p^2}{4p},\frac{u}{2}\right)$

根据点到直线的距离公式，圆心 $C$ 到直线 $x-2y=0$ 的距离 $d$ 为： $d=\frac{|x_C-2y_C|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}=\frac{\left|\frac{u^2+8p^2}{4p}-2\left(\frac{u}{2}\right)\right|}{\sqrt{5}}=\frac{|u^2-4pu+8p^2|}{4p\sqrt{5}}$

对分子的一元二次多项式进行配方： $u^2-4pu+8p^2=(u-2p{)}^2+4p^2$ 因为 $p>0$，所以 $(u-2p{)}^2+4p^2\ge 4p^2>0$，绝对值符号可以直接脱去： $d=\frac{(u-2p{)}^2+4p^2}{4p\sqrt{5}}$

当 $u=2p$ 时（即当 $y_1+y_2=2p$ 时），距离 $d$ 取得极小值，亦即最小值： $d_{\text{min}}=\frac{4p^2}{4p\sqrt{5}}=\frac{p}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}p}{5}$

题目已知该距离的最小值为 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$，由此建立方程： $\frac{\sqrt{5}p}{5}=\frac{2\sqrt{5}}{5}⟹p=2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：向量垂直的充要条件坐标表达、抛物线代数通项代换、点线距离一元二次函数最值。
• 核心方法：直径式圆方程转化法、消元换元配方法。
• 避坑指南：
• 第一问证明直径时，直接使用圆的直径式方程 $(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$ 逆向展开比用中点和半径公式计算要简洁得多。
• 第二问在对圆心坐标统一消元时，由于横坐标含有二次方和，引入整体变量 $u=y_1+y_2$ 能够极大程度避免双变量混乱，将问题转化为清晰的二次函数顶点求最值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是解析几何大题中关于“圆与抛物线交汇”的经典结构模型。考查通过向量垂直条件锁定交点乘积为定值（$y_1{y}_2=-4p^2$），属于高考对圆锥曲线定值与最值性质的常规考查。 结论推广: 对于任意抛物线 $y^2=2px$，若过原点的两条弦 $OA\perp OB$，则两动点 $A,B$ 的纵坐标之积恒为定值 $-4p^2$，且以 $AB$ 为直径的圆恒过坐标原点 $O$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 02.01 常用逻辑用语
• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2007-辽宁文-21 解-抛物线外接圆与切线
• 2009-大纲Ⅰ文-22 解-抛物线与圆最值
• 2011-浙江卷文-22 解-抛物线切线与圆