2006-辽宁卷理-14 填-数列的极限运算

本题导读

本题考查复杂分式级数的极限求解。通过将分子与分母分别进行等比数列拆分组合求和，再利用极限的代数运算法则计算无限项和的最终收敛值。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(理)） ${\lim }_{n\to \infty }\frac{\left(\frac{4}{5}-\frac{6}{7}\right)+\left(\frac{4}{5^2}-\frac{6}{7^2}\right)+\cdots +\left(\frac{4}{5^n}-\frac{6}{7^n}\right)}{\left(\frac{5}{6}-\frac{4}{5}\right)+\left(\frac{5}{6^2}-\frac{4}{5^2}\right)+\cdots +\left(\frac{5}{6^n}-\frac{4}{5^n}\right)}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

观察分子与分母的代数结构，均可以按照加号和减号拆分为两组独立的等比数列之和。 分别应用等比数列求和公式写出分子与分母的前 $n$ 项和表达式。 令 $n\to \infty$，利用 ${\lim }_{n\to \infty }{q}^n=0$ ($|q|<1$) 化简，直接求出分子与分母的极限值，最后做除法。

✅【答案】

Success

$-1$

✍【详细解析】

Abstract

解：1. 计算分子在 $n\to \infty$ 时的极限值： 将分子拆分为两组等比数列前 $n$ 项和之差： $M_n=4\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\cdots +\frac{1}{5^n}\right)-6\left(\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+\cdots +\frac{1}{7^n}\right)$ 当 $n\to \infty$ 时，利用无穷等比级数求和公式 $S_{\infty }=\frac{a_1}{1-q}$： ${\lim }_{n\to \infty }{M}_n=4\times \frac{\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}}-6\times \frac{\frac{1}{7}}{1-\frac{1}{7}}$ ${\lim }_{n\to \infty }{M}_n=4\times \frac{\frac{1}{5}}{\frac{4}{5}}-6\times \frac{\frac{1}{7}}{\frac{6}{7}}=4\times \frac{1}{4}-6\times \frac{1}{6}=1-1=0$ 此处分子极限算得为 0，需极其严密检查非零收敛性或因式消元。 重新精确配对计算分子中： $M_n=\left(4\cdot \frac{\frac{1}{5}(1-\frac{1}{5^n})}{\frac{4}{5}}\right)-\left(6\cdot \frac{\frac{1}{7}(1-\frac{1}{7^n})}{\frac{6}{7}}\right)=\left(1-\frac{1}{5^n}\right)-\left(1-\frac{1}{7^n}\right)=\frac{1}{7^n}-\frac{1}{5^n}$

2. 计算分母在 $n\to \infty$ 时的极限值： 将分母拆分为两组等比数列前 $n$ 项和之差： $N_n=5\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{6^2}+\cdots +\frac{1}{6^n}\right)-4\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\cdots +\frac{1}{5^n}\right)$ 应用等比数列求和公式化简： $N_n=5\cdot \frac{\frac{1}{6}(1-\frac{1}{6^n})}{1-\frac{1}{6}}-4\cdot \frac{\frac{1}{5}(1-\frac{1}{5^n})}{1-\frac{1}{5}}$ $N_n=5\cdot \frac{\frac{1}{6}(1-\frac{1}{6^n})}{\frac{5}{6}}-4\cdot \frac{\frac{1}{5}(1-\frac{1}{5^n})}{\frac{4}{5}}=\left(1-\frac{1}{6^n}\right)-\left(1-\frac{1}{5^n}\right)=\frac{1}{5^n}-\frac{1}{6^n}$

3. 联立求整体分式的极限： 将 $M_n$ 与 $N_n$ 的化简多项式代回原极限式中： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{M_n}{N_n}={\lim }_{n\to \infty }\frac{\frac{1}{7^n}-\frac{1}{5^n}}{\frac{1}{5^n}-\frac{1}{6^n}}$

分子与分母同时乘以 $5^n$ 进行消元（因为 $\frac{1}{5^n}$ 是占主导地位的最大无穷小量）： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{{\left(\frac{5}{7}\right)}^n-1}{1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^n}$

因为 $0<\frac{5}{7}<1$ 且 $0<\frac{5}{6}<1$，所以当 $n\to \infty$ 时： ${\lim }_{n\to \infty }{\left(\frac{5}{7}\right)}^n=0,{\lim }_{n\to \infty }{\left(\frac{5}{6}\right)}^n=0$ 代入计算最终结果： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{M_n}{N_n}=\frac{0-1}{1-0}=-1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等比数列求和公式的精确化简、无穷小量阶数的乘方消元、极限的商运算法则。
• 核心方法：分组求和因式消元法。
• 避坑指南：
• 如果直接对无限项代入求和公式，会得到 $\frac{1-1}{1-1}=\frac{0}{0}$ 的未定式。必须先保留 $n$ 项求出确切的有限求和代数式 $M_n$ 与 $N_n$，约去相消抵消掉的常数 $1$ 后，再进行极限跨越。
• 提取主导无穷小量时，注意分母乘以 $5^n$ 后， $\frac{5^n}{6^n}={\left(\frac{5}{6}\right)}^n\to 0$，符号不要弄反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是典型的通过等比数列求和构造的 $\frac{0}{0}$ 型极限题，考查了对离散求和向连续极限平滑过渡的代数控制能力。 结论推广: 对于通项形式拼合而成的极限 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{\sum (A\cdot a^k-B\cdot b^k)}{\sum (C\cdot c^k-A\cdot a^k)}$ （其中 $b<a<c$），其前 $n$ 项和化简后，常数项抵消，最终的极限值完全由夹在中间的居中基底 $a^n$ 前面的系数决定，结果为 $-1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷文-10 填-无穷等比极限
• 2018-上海卷-10 填-等比数列极限