2006-辽宁卷理-13 填-函数值的计算

本题导读

本题考查分段函数的复合求值问题，核心在于依据自变量所在区间准确选择对应的函数分支进行逐层计算。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(理)） 设 $g(x)=\{\begin{array}{ll}{\text{e}}^x,& x\le 0\\ \ln x,& x>0\end{array}$，则 $g\left(g\left(\frac{1}{2}\right)\right)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

第一步：判断外层自变量 $\frac{1}{2}$ 的正负性，选择 $x>0$ 的分支求出内层函数值 $g\left(\frac{1}{2}\right)$。 第二步：判断第一步求得的结果的正负性，选择对应的函数分支求出最终结果。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：首先求解内层嵌套值 $g\left(\frac{1}{2}\right)$： 因为 $\frac{1}{2}>0$，所以代入满足 $x>0$ 的下半部分分支解析式 $g(x)=\ln x$： $g\left(\frac{1}{2}\right)=\ln \left(\frac{1}{2}\right)=-\ln 2$

其次求解外层嵌套值 $g\left(g\left(\frac{1}{2}\right)\right)$，即求 $g(-\ln 2)$： 因为 $\ln 2>0$，所以 $-\ln 2<0$，应当代入满足 $x\le 0$ 的上半部分分支解析式 $g(x)={\text{e}}^x$： $g(-\ln 2)={\text{e}}^{-\ln 2}={\text{e}}^{\ln (2^{-1})}=2^{-1}=\frac{1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：分段函数的区间对应法则、对数与指数的互逆运算法则。
• 核心方法：由内向外逐层消元法。
• 避坑指南：计算中注意 $\ln 2\approx 0.693$，故 $-\ln 2$ 绝对是负数，第二步切勿看错区间代入到对数分支导致得到 $\ln (-\ln 2)$ 这种无意义的代数式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题属于基本初等函数章节中关于分段函数求值的最经典构型，直接考查对条件分支映射的理解。 结论推广: 对于互为反函数的两个分支组合（如 ${\text{e}}^x$ 与 $\ln x$），在交替嵌套时，若自变量刚好在定义域边界两侧发生正负对调，最终结果往往会发生对称性复原。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2007-湖北文-15 填-分段函数建模求值
• 2010-陕西卷文-13 填-分段函数复合