2006-辽宁卷理-11 单-分段函数的极值与最值

本题导读

本题考查三角函数的值域求解。比较正弦与余弦函数的大小，对绝对值号分段讨论化简，转化为基本三角函数求值域。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(理)） 已知函数 $f(x)=\frac{1}{2}(\sin x+\cos x)-\frac{1}{2}|\sin x-\cos x|$，则 $f(x)$ 的值域是()

A. $[-1,1]$　　　B. $\left[-\frac{\sqrt{2}}{2},1\right]$　　　C. $\left[-1,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$　　　D. $\left[-1,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$

🔍【思路分析】

破题导航

绝对值分类讨论：根据绝对值内的代数式 $\sin x-\cos x$ 的正负进行拆分：

• 当 $\sin x\ge \cos x$ 时，$|\sin x-\cos x|=\sin x-\cos x$；
• 当 $\sin x<\cos x$ 时，$|\sin x-\cos x|=\cos x-\sin x$。 分段函数化简：将上述两种情况分别代入原解析式中，合并同类项，得到分段三角函数： $f(x)=\min (\sin x,\cos x)$。 求各段值域并求并集：画出 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的图象，确定叠加后曲线的最低点与最高点。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：为了去掉绝对值号，对 $\sin x$ 与 $\cos x$ 的大小关系进行分类讨论：

• 情况 1：当 $\sin x\ge \cos x$ 时，有 $|\sin x-\cos x|=\sin x-\cos x$。 代入原函数解析式中化简： $f(x)=\frac{1}{2}(\sin x+\cos x)-\frac{1}{2}(\sin x-\cos x)$ $f(x)=\frac{1}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x=\cos x$

• 情况 2：当 $\sin x<\cos x$ 时，有 $|\sin x-\cos x|=-(\sin x-\cos x)=\cos x-\sin x$。 代入原函数解析式中化简： $f(x)=\frac{1}{2}(\sin x+\cos x)-\frac{1}{2}(\cos x-\sin x)$ $f(x)=\frac{1}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x-\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x=\sin x$

综合两类情况，原函数可写为： $f(x)=\{\begin{array}{ll}\cos x,& \sin x\ge \cos x\\ \sin x,& \sin x<\cos x\end{array}$ 即 $f(x)=\min (\sin x,\cos x)$ （取 $\sin x$ 和 $\cos x$ 中的较小者）。

画出正弦与余弦函数在同一坐标系下 $[0,2\pi ]$ 内的图象： 两曲线的交点位置为 $x=\frac{\pi }{4}$（此时 $y=\frac{\sqrt{2}}{2}$）和 $x=\frac{5\pi }{4}$（此时 $y=-\frac{\sqrt{2}}{2}$）。

• 当 $x\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right]$ 时， $\sin x\ge \cos x$，此时 $f(x)=\cos x$。在这段区间内， $\cos x$ 单调递减到最低点 $-1$（当 $x=\pi$ 时），其最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。
• 当 $x\in \left[-\frac{3\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]$ 时， $\sin x<\cos x$，此时 $f(x)=\sin x$。在这段区间内， $\sin x$ 单调递减到最低点 $-1$（当 $x=-\frac{\pi }{2}$ 时），最大值同样在交点处达到 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

由此可得：

• 最小值在谷底处取得，为 $-1$；
• 最大值在两曲线的交点处取得，为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

因此，函数 $f(x)$ 的值域为 $\left[-1,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：绝对值的分段讨论、取小（$\min$）模型、正余弦函数图象的交点。
• 核心方法：分类讨论法、数形结合法。
• 避坑指南：
• 化简出分段函数后，不要把 $\sin x$ 的值域 $[-1,1]$ 和 $\cos x$ 的值域 $[-1,1]$ 直接求并集得出 $[-1,1]$。
• 要在指定区间内求对应函数的值域。最高点在 $\sin x=\cos x$ 的交点处取得，为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，达不到 1。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题利用恒等式 $\min (a,b)=\frac{a+b-|a-b|}{2}$，结合三角函数图象，考查分段函数最值。 结论推广: 对于任意两个函数 $f(x),g(x)$，$\frac{f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|}{2}$ 恒等于 $\min (f(x),g(x))$；而 $\frac{f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|}{2}$ 恒等于 $\max (f(x),g(x))$。其值域的边界由原函数极值点与交点共同决定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.01 函数的概念
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2008-新课标Ⅰ文-11 单-三角函数值域
• 2010-天津文-10 单-分段函数值域
• 2010-江西卷文-06 单-二次型三角函数值域