2006-辽宁卷理-04 单-二元一次不等式组与平面区域

本题导读

本题考查双曲线渐近线围成的平面区域的不等式组表示。通过写出等轴双曲线的渐近线，利用边界和内部测试点锁定不等式方向。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(理)） 双曲线 $x^2-y^2=4$ 的两条渐近线与直线 $x=3$ 围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是()

A. $\{\begin{array}{l}x-y\ge 0\\ x+y\ge 0\\ 0\le x\le 3\end{array}$

B. $\{\begin{array}{l}x-y\ge 0\\ x+y\le 0\\ 0\le x\le 3\end{array}$

C. $\{\begin{array}{l}x-y\le 0\\ x+y\le 0\\ 0\le x\le 3\end{array}$

D. $\{\begin{array}{l}x-y\le 0\\ x+y\ge 3\\ 0\le x\le 3\end{array}$

🔍【思路分析】

破题导航

求出双曲线 $x^2-y^2=4$ 的渐近线方程为 $y=\pm x$，即 $x-y=0$ 和 $x+y=0$。 结合直线 $x=3$，在坐标系中画出该三角形区域。 选取三角形内部的一个特殊测试点（如 $(2,0)$），将其代入四个选项中进行不等号方向的验证，符合所有不等式的即为正确答案。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：双曲线方程为 $x^2-y^2=4⟹\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1$。 因为 $a=2,b=2$，其两条渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm x$。 即两条边界直线为： $x-y=0$ 和 $x+y=0$。 这两条渐近线与直线 $x=3$ 在第一、四象限围成一个顶点在原点、底边在 $x=3$ 上的三角形区域。

在区域内部取一个特殊测试点 $M(2,0)$，将其坐标代入进行检验：

• 对于 $x-y$： $2-0=2\ge 0⟹x-y\ge 0$；
• 对于 $x+y$： $2+0=2\ge 0⟹x+y\ge 0$；
• 对于 $x$ 的范围： 显然点在原点与 $x=3$ 之间，满足 $0\le x\le 3$。

对照四个选项，只有 (A) 选项的不等号方向完全符合。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等轴双曲线的渐近线求法、平面区域的二元一次不等式组表示。
• 核心方法：数形结合法、特殊点验证法。
• 避坑指南：注意两条直线 $x-y=0$ 与 $x+y=0$ 的上下方横向关系，最稳妥的方法是取区域内靠近 $x$ 轴正半轴的点（如 $(2,0)$）进行代入，避免人眼看图导致不等号反向。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题由教材中“双曲线的简单几何性质”与“简单的线性规划问题（平面区域）”两节内容交叉复合而来。 结论推广: 由直线 $y=kx,y=-kx$ 和 $x=m$ ($m>0$) 围成的包含 $x$ 轴正半轴的三角形区域，其对应的不等式组恒为 $\{\begin{array}{l}kx-y\ge 0\\ kx+y\ge 0\\ 0\le x\le m\end{array}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2007-江苏卷-03 单-双曲线渐近线离心率
• 2009-天津文-04 单-双曲线渐近线