2006-辽宁卷理-01 单-子集的计数

本题导读

本题考查集合的并集基本概念及满足特定并集条件的未知集合的个数计算，属于基础概念题。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(理)） 设集合 $A=\{1,2\}$，则满足 $A\cup B=\{1,2,3\}$ 的集合 $B$ 的个数是()

A. 1　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 8

🔍【思路分析】

破题导航

根据并集的定义， $A\cup B=\{1,2,3\}$ 说明集合 $B$ 中必须包含元素 $3$。 集合 $B$ 中的其余元素只能从集合 $A$ 中选取（即可能是空、 $\{1\}$、 $\{2\}$ 或 $\{1,2\}$）。 从而 $B$ 的个数等价于集合 $\{1,2\}$ 的子集个数。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：因为 $A=\{1,2\}$，且 $A\cup B=\{1,2,3\}$， 根据并集的定义，元素 $3$ 必属于集合 $B$。 而元素 $1,2$ 可以属于集合 $B$，也可以不属于集合 $B$。 因此，集合 $B$ 必具有结构： $B=C\cup \{3\}$，其中 $C\subseteq \{1,2\}$。 集合 $\{1,2\}$ 的子集 $C$ 共有 $2^2=4$ 个，分别为： $\varnothing ,\{1\},\{2\},\{1,2\}$。 对应的集合 $B$ 也有 4 个，分别为： $\{3\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：集合的并集运算原理、有限集合的子集个数公式 $2^n$。
• 核心方法：元素追踪法。
• 避坑指南：容易误认为 $B$ 只能是 $\{3\}$ 而漏掉包含 $1$ 或 $2$ 的情况。只要保证 $3$ 必选，其余 $A$ 中元素选与不选均不影响并集结果。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题由教材中“集合的基本运算”课后习题改编而来，是高考第一题的常设构型。 结论推广: 若已知 $A\cup B=M$，则满足条件的集合 $B$ 的个数为 $2^{|A\cap (M\setminus A)|+|A|}=2^{|A|}$ （当且仅当 $(M\setminus A)\subseteq B\subseteq M$）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2008-山东文-01 单-集合子集计数
• 2008-山东卷理-01 单-集合子集计数
• 2011-安徽卷理-08 单-子集个数