2006-辽宁文-08 单-数集四则运算封闭性

本题导读

本题考查集合的运算封闭性，以及数集。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(文)） 设 $\oplus$ 是 $\mathbf{R}$ 上的一个运算，$A$ 是 $\mathbf{R}$ 的非空子集，若对任意 $a,b\in A$，有 $a\oplus b\in A$，则称 $A$ 对运算 $\oplus$ 封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是()

A. 自然数集　　　B. 整数集　　　C. 有理数集　　　D. 无理数集

🔍【思路分析】

破题导航

1. 自然数集对减法不封闭（$1-2\notin \mathbf{N}$）。
2. 整数集对除法不封闭（$1÷2\notin \mathbf{Z}$）。
3. 无理数集对乘法、除法不封闭（$\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2$ 非无理数）。
4. 有理数集对加、减、乘、除（除数非零）均封闭。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

逐项检验四则运算的封闭性： A．自然数集对减法不封闭，如 $1-2=-1\notin \mathbf{N}$； B．整数集对除法不封闭，如 $1÷2=\frac{1}{2}\notin \mathbf{Z}$； D．无理数集对乘法不封闭，如 $\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2\notin$ 无理数集； C．任意两个有理数的和、差、积、商（除数不为零）仍是有理数，故有理数集对四则运算都封闭． 故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数集四则运算封闭性

核心方法：四则运算封闭性逐一检验

避坑指南：有理数集对四则运算都封闭；自然数集对减法、整数集对除法、无理数集对乘除都不封闭，别只验加法

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 集合运算封闭性的新定义，概念辨析题

结论推广: 对加、减、乘、除（除数非零）都封闭的数集只有有理数集（及实数集、复数集）

方法推广: 封闭性逐一检验四则运算，减法和除法最容易被忽略

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2010-四川卷文-16 填-封闭集新定义