2006-福建卷理-17 解-三角函数图象的平移与伸缩变换

本题导读

本题考查三角函数的综合应用。重点考查利用二倍角公式与辅助角公式将复杂的三角代数式化简为 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$ 的标准形式，进而求解其周期、单调区间及图象变换步骤。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(理)） 已知函数 $f(x)={\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin x\cos x+2{\cos }^{2}x,x\in \mathbf{R}$。 （1）求函数 $f(x)$ 的最小正周期和单调增区间； （2）函数 $f(x)$ 的图象可以由函数 $y=\sin 2x(x\in \mathbf{R})$ 的图象经过怎样的变换得到？

🔍【思路分析】

破题导航

基本解析式化简：应用倍角公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 和降幂公式 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$, ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ 进行降幂扩角，再利用辅助角公式 $A\sin \omega x+B\cos \omega x=\sqrt{A^2+B^2}\sin (\omega x+\phi )$ 化为标准单三角函数式。 求解第（1）问：根据标准式公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 算周期；将 $2x+\phi$ 整体代入正弦函数的单调递增区间 $\left[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi \right]$ 解出 $x$ 的范围。 求解第（2）问：对比 $y=\sin 2x$ 与 $f(x)$ 的标准式，按照“先平移后伸缩”或“先伸缩后平移”的图象变换法则描述路径。

✅【答案】

Success

（1）利用倍角公式，得f(x)=1−cos2x2+√3

✍【详细解析】

Abstract

首先化简函数 $f(x)$ 的解析式： $f(x)={\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin x\cos x+2{\cos }^{2}x$ $=\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+2\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}$ $=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+1+\cos 2x$ $=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{3}{2}$

利用辅助角公式提公因式： $f(x)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)+\frac{3}{2}$

（1）求最小正周期和单调增区间

因为 $\omega =2$，所以最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{2}=\pi$

令 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le 2x+\frac{\pi }{6}\le \frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbf{Z}$。 同时减去 $\frac{\pi }{6}$ 得： $-\frac{2\pi }{3}+2k\pi \le 2x\le \frac{\pi }{3}+2k\pi$ 两边同除以 2 得： $-\frac{\pi }{3}+k\pi \le x\le \frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$

所以，函数 $f(x)$ 的单调增区间为 $\left[-\frac{\pi }{3}+k\pi ,\frac{\pi }{6}+k\pi \right](k\in \mathbf{Z})$。

（2）图象变换步骤

方法一（先平移后伸缩）：

1. 将函数 $y=\sin 2x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi }{12}$ 个单位长度，得到 $y=\sin 2\left(x+\frac{\pi }{12}\right)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$ 的图象；
2. 再将所得图象向上平移 $\frac{3}{2}$ 个单位长度，即可得到函数 $f(x)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)+\frac{3}{2}$ 的图象。

方法二（基于原函数相角直接变形）：

1. 将函数 $y=\sin 2x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度（对整体 $2x$ 而言），意即转化为 $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$；
2. 再将所得图象向上平移 $\frac{3}{2}$ 个单位长度，得到函数 $f(x)$ 的图象。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：三角恒等变换公式系；正弦函数的性质与图象变换规则。
• 核心方法：整体代换法。处理单调性、对称性及平移时，牢记“自变量 $x$ 变多少，图象就平移多少”。
• 避坑指南：在第（2）问的平移变换中，极易将向左平移的量错算为 $\frac{\pi }{6}$。因为 $\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)=\sin 2\left(x+\frac{\pi }{12}\right)$，当提出来系数 2 后，针对自变量 $x$ 的实际平移量应为 $\frac{\pi }{12}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于典型的高考大题第一题（三角函数位置），考查通性通法，直接对应人教A版选择性必修第一册中三角函数恒等变换与函数图象两章的综合大题。 结论推广：此类题目的最终标准式均可化为 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$。其最值由 $b\pm A$ 决定，对称轴方程由 $\omega x+\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$ 解出。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 05.02 函数的四大性质
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2010-湖北卷文-16 解-三角恒等变换与最值
• 2011-北京卷文-15 解-三角恒等变换最值
• 2012-四川卷文-18 解-三角恒等变换与值域