2006-福建卷理-15 填-相互独立事件的概率

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的计算。通过抛掷正方体试验，考查学生对相互独立事件、古典概型以及随机变量数字特征的综合应用能力。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(理)） 一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数 0，两个面上标以数 1，一个面上标以数 2．将这个小正方体抛掷 2 次，则向上的数之积的数学期望是$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

• 方法一：经典分布列法：

1. 单次抛掷时，出现 0, 1, 2 的概率分别为 $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$, $\frac{1}{6}$。
2. 设抛掷 2 次向上的数之积为随机变量 $X$，分析 $X$ 的所有可能取值。
3. 利用独立事件的乘法公式，分别求出 $X$ 取各个值时的概率，列出分布列。
4. 利用期望公式 $E(X)=\sum x_i{p}_i$ 计算得出结果。

• 方法二：独立变量期望乘积法（秒杀法）： 由于两次抛掷是相互独立的试验，设第 1 次向上的数为 $Y$，第 2 次向向上的数为 $Z$，两者的取值及概率分布完全相同且相互独立。根据独立随机变量乘积的期望性质有 $E(YZ)=E(Y)\cdot E(Z)$，只需计算单次抛掷的期望即可。

✅【答案】

Success

$\frac{4}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：分布列法（常规解法）

单次抛掷均匀小正方体，设向上的数为 $Y$，其概率分布为： $P(Y=0)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2},P(Y=1)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},P(Y=2)=\frac{1}{6}$

设将这个小正方体抛掷 2 次，向上的数之积为随机变量 $X$。 $X$ 的可能取值为：0, 1, 2, 4。

利用相互独立事件的概率乘法公式分别计算各取值的概率：

• $X=0$：两次中至少有一次出现 0。其对立事件为两次都没出现 0： $P(X=0)=1-(1-\frac{1}{2}{)}^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
• $X=1$：两次均出现 1： $P(X=1)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{9}$
• $X=2$：两次分别为 1 和 2（注意有先后顺序，需乘以 2）： $P(X=2)=C_2^1\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{9}$
• $X=4$：两次均出现 2： $P(X=4)=\frac{1}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$

验证概率和：$\frac{3}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{36}=\frac{27+4+4+1}{36}=1$。

则随机变量 $X$ 的数学期望为： $E(X)=0\times \frac{3}{4}+1\times \frac{1}{9}+2\times \frac{1}{9}+4\times \frac{1}{36}$ $E(X)=0+\frac{1}{9}+\frac{2}{9}+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$

方法二：独立变量期望乘积法（秒杀法）

设第 1 次抛掷向上的数为 $Y$，第 2 次抛掷向向上的数为 $Z$。 由于两次抛掷互相独立，所以向上的数之积的数学期望为： $E(YZ)=E(Y)\cdot E(Z)$

因为 $Y$ 与 $Z$ 的分布列完全相同，先求单次抛掷的数学期望 $E(Y)$： $E(Y)=0\times \frac{1}{2}+1\times \frac{1}{3}+2\times \frac{1}{6}=0+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

因此，抛掷 2 次数之积的数学期望为： $E(X)=E(Y)\cdot E(Z)=\frac{2}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{4}{9}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：古典概型与独立事件的概率乘法；随机变量期望定义式 $E(X)=\sum x_i{p}_i$。
• 核心方法：方法一胜在步骤严谨、不易出错；方法二利用“若 $Y,Z$ 独立，则 $E(YZ)=E(Y)E(Z)$”这一高级性质，能实现大幅度提速。
• 避坑指南：在用方法一计算 $P(X=2)$ 时，极易漏掉排列顺序。两次抛掷分别为 (1,2) 和 (2,1) 是两种不同情况，如果不乘 2 计算成 $\frac{1}{18}$，会导致概率和不为 1 且结果错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查概率统计中的离散型随机变量分布性质，由人教A版选择性必修第三册第七章离散型随机变量的数字特征的基本练习题引申而来。 结论推广：若将一个试验重复独立进行 $n$ 次，每次试验的随机变量分别为 $X_1,X_2,\dots ,X_n$，若这些变量相互独立且同分布，则它们乘积的期望等于各自期望的乘积，即 $E(X_1{X}_2\dots X_n)=[E(X_1){]}^n$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2009-广东卷理-12 填-分布列
• 2014-浙江卷理-12 填-分布列的性质