2006-福建卷理-14 填-导数的几何意义

本题导读

本题考查直线与二次曲线（抛物线）的相切位置关系。核心考查将几何上的“相切”转化为代数上“联立方程组有且仅有一个解”，利用一元二次方程的判别式 $\Delta =0$ 求解参数。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(理)） 已知直线 $x-y-1=0$ 与抛物线 $y=a{x}^2$ 相切，则 $a=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

• 方法一：判别式法（通法）：联立直线方程与抛物线方程，消去 $y$ 得到关于 $x$ 的一元二次方程。由于直线与抛物线相切，该一元二次方程有且仅有一个实数根，令判别式 $\Delta =0$ 即可求出 $a$。
• 方法二：导数法：由直线方程可知切线斜率 $k=1$。对抛物线求导得到切线斜率公式 $y^{\prime }=2ax$，设切点坐标后利用导数值等于 1 且切点在两条曲线上联立求解。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：判别式法

由直线方程 $x-y-1=0$ 可得： $y=x-1$

将 $y=x-1$ 代入抛物线方程 $y=a{x}^2$ 中，消去 $y$ 得： $a{x}^2=x-1⟹a{x}^2-x+1=0$

因为直线与抛物线相切，且由题意知抛物线二次项系数 $a\ne 0$（若 $a=0$ 则退化为直线，不合题意）。 所以该一元二次方程有且仅有一个解，其判别式 $\Delta =0$： $\Delta =(-1{)}^2-4\times a\times 1=0$ $1-4a=0⟹4a=1⟹a=\frac{1}{4}$

方法二：导数法

将直线方程化为斜截式 $y=x-1$，其斜率 $k=1$。 设直线与抛物线的切点为 $P(x_0,y_0)$。 对抛物线 $y=a{x}^2$ 求导得： $y^{\prime }=2ax$

由于切线斜率为 1，所以在切点处的导数值为 1： $2a{x}_0=1⟹x_0=\frac{1}{2a}$

又因为切点 $P$ 在直线 $y=x-1$ 上，且在抛物线 $y=a{x}^2$ 上，则： $y_0=x_0-1=a{x}_0^2$

将 $a{x}_0=\frac{1}{2}$ 代入上式右边： $x_0-1=(a{x}_0)\cdot x_0⟹x_0-1=\frac{1}{2}{x}_0⟹\frac{1}{2}{x}_0=1⟹x_0=2$

将 $x_0=2$ 代入 $2a{x}_0=1$ 中： $2\times a\times 2=1⟹4a=1⟹a=\frac{1}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：直线与抛物线相切的代数特征 $\Delta =0$；导数的几何意义（切点处的导数等于切线斜率）。
• 核心方法：联立方程法是解决直线与圆锥曲线位置关系的最通用方法。
• 避坑指南：在使用判别式法时，习惯上要注意二次项系数是否可能为 0 的讨论。本题由“抛物线”这一常识限制，隐含有 $a\ne 0$ 的条件，故无需额外分类。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查圆锥曲线的基础几何性质，直接对应人教A版选择性必修第一册第三章抛物线的简单应用习题，难度偏低。 结论推广：过点 $(x_0,y_0)$ 且与抛物线 $x^2=2py$ 相切的切线方程为 $x_{0}x=p(y+y_0)$。同理可推广至 $y=a{x}^2$，其在切点 $(x_0,y_0)$ 处的切线方程可表示为 $\frac{y+y_0}{2}=a{x}_{0}x$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2007-山东卷理-13 填-直线抛物线位置关系
• 2008-江苏卷-08 填-切线求参数