2006-福建卷理-10 单-离心率的计算

本题导读

本题考查双曲线的几何性质及直线与双曲线的位置关系。核心在于利用数形结合的思想，将直线与双曲线右支的交点个数问题转化为直线的斜率与双曲线渐近线斜率的大小比较，从而建立关于基本量 $a,b$ 的不等式。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(理)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的右焦点为 $F$，若过点 $F$ 且倾斜角为 $60^{\circ }$ 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()

A. $(1,2]$　　　　B. $(1,2)$　　　　C. $[2,+\infty )$　　　　D. $(2,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

直线斜率判定：过右焦点 $F$ 且倾斜角为 $60^{\circ }$ 的直线 $l$ 的斜率 $k=\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$。 临界条件分析（数形结合）：由于直线过右焦点，当直线斜率绝对值大于渐近线斜率时，直线与左右两支各有一个交点（共 2 个）；当直线斜率绝对值小于或等于渐近线斜率时，直线只与右支相交且只有一个交点（斜率等于渐近线时直线与渐近线平行，恰交右支于一点），故需 $k=\sqrt{3}\le \frac{b}{a}$。 建立不等式求解：由上述几何关系得出 $\sqrt{3}\le \frac{b}{a}$，进而在直角三角形中利用 $c^2=a^2+b^2$ 转化为离心率 $e=\frac{c}{a}$ 的不等式。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

过右焦点 $F$ 且倾斜角为 $60^{\circ }$ 的直线 $l$ 的斜率为： $k=\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$

双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$，其第一象限的渐近线斜率为 $k_{\text{渐}}=\frac{b}{a}$。

由于直线 $l$ 过双曲线内部的右焦点 $F$：

• 当 $k>k_{\text{渐}}$ 即 $\sqrt{3}>\frac{b}{a}$ 时，直线 $l$ 的倾斜程度比渐近线更陡峭，此时直线与双曲线的左支、右支各有一个交点，不符合“与右支有且只有一个交点”的题意；
• 当 $k\le k_{\text{渐}}$ 即 $\sqrt{3}\le \frac{b}{a}$ 时，直线 $l$ 的倾斜程度介于两条渐近线之间（或等于渐近线斜率时与渐近线平行），此时直线与左支无交点，与右支有且仅有一个交点。

因此，必须满足： $\frac{b}{a}\ge \sqrt{3}$

两边平方得： $\frac{b^2}{a^2}>3$

利用双曲线中 $b^2=c^2-a^2$ 进行代换： $\frac{c^2-a^2}{a^2}>3⟹\frac{c^2}{a^2}-1>3⟹{\left(\frac{c}{a}\right)}^2\ge 4$

因为离心率 $e=\frac{c}{a}>1$，所以： $e\ge 2$

即此双曲线离心率的取值范围是 $[2,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：双曲线的渐近线斜率 $\frac{b}{a}$ 对通径、焦点弦等直线相交支数的控制作用；离心率与基本量的关系 $e^2=1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2$。
• 核心方法：数形结合法。通过渐近线这一特殊“边界”来划定直线与双曲线交点个数的范围。
• 避坑指南：容易将不等号的方向弄反。误认为直线更陡峭时才只有一个交点，从而得出 $\frac{b}{a}\le \sqrt{3}$ 导致错选 A 或 B。务必画图明确，焦点在渐近线夹角内，直线越平缓（斜率越小）越不容易碰触到另一支。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查圆锥曲线的渐近线几何意义，由人教A版选择性必修第一册第三章双曲线的课后思考与练习改编而来。 结论推广：过双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的右焦点且斜率为 $k(k>0)$ 的直线与双曲线右支有且只有一个交点的充要条件是 $k<\frac{b}{a}$，此时离心率满足 $e>\sqrt{1+k^2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 16.01 直线的倾斜角与斜率
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2007-浙江卷理-09 单-双曲线离心率
• 2008-湖南文-10 单-双曲线离心率范围
• 2008-福建文-12 单-双曲线离心率范围