2006-福建卷理-06 单-分类加法计数原理

本题导读

本题考查古典概型的概率计算。通过摸球试验，检测学生对“至少”这类限制条件的分类讨论能力，以及对组合数公式的运算熟练度。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(理)） 在一个口袋中装有 5 个白球和 3 个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出 3 个球，至少摸到 2 个黑球的概率等于()

A. $\frac{2}{7}$　　　　　　B. $\frac{3}{8}$　　　　　　C. $\frac{3}{7}$　　　　　　D. $\frac{9}{28}$

🔍【思路分析】

破题导航

确定总事件数：从口袋中总共 $5+3=8$ 个球中任取 3 个球，其基本事件总数为 $C_8^3$。 分析目标事件（分类讨论）：“至少摸到 2 个黑球”包含两种互斥情况：

• 情况一：摸到 2 个黑球和 1 个白球；
• 情况二：摸到 3 个黑球和 0 个白球。 计算概率：分别计算两类情况的方法数并求和，再除以总事件数。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

从 8 个球中随机摸出 3 个球的所有组合数为： $n=C_8^3=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=56$

设“至少摸到 2 个黑球”为事件 $A$。事件 $A$ 可以分为以下两类情况：

1. 恰好有 2 个黑球（则必有 1 个白球）：从 3 个黑球中选 2 个，再从 5 个白球中选 1 个，方法数为： $m_1=C_3^2\times C_5^1=3\times 5=15$
2. 恰好有 3 个黑球（则没有白球）：从 3 个黑球中选 3 个，方法数为： $m_2=C_3^3=1$

根据分类加法计数原理，符合条件的方法总数为： $m=m_1+m_2=15+1=16$

根据古典概型概率公式，事件 $A$ 的概率为： $P(A)=\frac{m}{n}=\frac{16}{56}=\frac{2}{7}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：古典概型公式 $P(A)=\frac{m}{n}$；组合数公式 $C_n^m$ 的基本运算。
• 核心方法：分类讨论法。通过精准提炼关键字“至少”，化繁为简。
• 避坑指南：
• 容易漏掉“3个全是黑球”的极端情况，若只计算 2 黑 1 白，会得到 $\frac{15}{56}$，从而找不到答案。
• 需注意符号区分，本题摸球不计顺序，必须使用组合数 $C_n^m$，不可使用排列数 $A_n^m$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题为经典的摸球概率模型，直接源自人教A版选择性必修第三册中关于古典概型与组合数应用的课后基础习题。 结论推广：本题也可以通过超几何分布模型进行解释。设摸出黑球的个数为 $X$，则 $X\sim H(8,3,3)$。所求概率即为 $P(X\ge 2)=P(X=2)+P(X=3)=\frac{C_3^2{C}_5^1}{C_8^3}+\frac{C_3^3{C}_5^0}{C_8^3}=\frac{2}{7}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2007-湖北卷理-09 单-古典概型
• 2008-山东卷理-07 单-古典概型
• 2008-广东卷理-03 单-古典概型