2006-福建卷理-05 单-正方体与外接球的关系

本题导读

本题考查空间几何体的表面积与体积计算，重点考查正方体外接球的几何性质及其内切、外接的几何体度量关系。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(理)） 已知正方体外接球的体积是 $\frac{32}{3}\pi$，那么正方体的棱长等于()

A. $2\sqrt{2}$　　　　　　B. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$　　　　　　C. $\frac{4\sqrt{2}}{3}$　　　　　　D. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

求球的半径：利用球的体积公式 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ 建立关于半径 $R$ 的方程，求出 $R$ 的值。 联系正方体棱长：根据正方体外接球的性质，正方体的体对角线等于外接球的直径（即 $\sqrt{3}a=2R$），以此求出棱长 $a$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设正方体的棱长为 $a$，其外接球的半径为 $R$。 由球的体积公式得： $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{32}{3}\pi$

两边同除以 $\frac{4}{3}\pi$ 得： $R^3=8⟹R=2$

从而外接球的直径为 $2R=4$。 根据几何关系，正方体的体对角线长等于外接球的直径： $\sqrt{3}a=2R=4$

解得正方体的棱长 $a$ 为： $a=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：球的体积公式 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$；多面体与球的接切问题中“正方体体对角线等于外接球直径”的性质。
• 核心方法：公式法。将立体几何空间关系转化为代数方程求解。
• 避坑指南：容易混淆外接球与内切球的半径关系。内切球直径等于棱长（$2r=a$），外接球直径等于体对角线（$2R=\sqrt{3}a$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于空间几何体中的基础“接切”模型，由人教A版立体几何经典例题改编。 结论推广：

• 若长方体的三条棱长分别为 $x,y,z$，则其外接球的直径 $2R=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$。
• 正方体外接球体积与内切球体积之比为常数 $3\sqrt{3}:1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2011-湖北卷文-07 单-球与内接正方体