2006-福建卷理-04 单-集合的补集与交集运算

本题导读

本题考查集合的基本运算与不等式的解法。首先需要准确解出绝对值不等式与一元二次不等式，确定集合 $A$ 与 $B$ 的范围，然后再根据集合的补集与交集定义进行运算。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(理)） 已知全集 $U=\mathbf{R}$，且 $A=\{x\mid |x-1|>2\}$，$B=\{x\mid x^2-6x+8<0\}$，则 $({\complement }_{U}A)\cap B$ 等于()

A. $[-1,4)$　　　　B. $(2,3)$　　　　C. $(2,3]$　　　　D. $(-1,4)$

🔍【思路分析】

破题导航

求解集合 $A$ 及补集 ${\complement }_{U}A$：解绝对值不等式 $|x-1|>2$ 得到集合 $A$，再利用补集的定义求出 ${\complement }_{U}A$。也可直接将条件取反，即 ${\complement }_{U}A=\{x\mid |x-1|\le 2\}$。 求解集合 $B$：通过因式分解法解一元二次不等式 $x^2-6x+8<0$ 得到集合 $B$。 求交集：借助数轴求出 ${\complement }_{U}A$ 与 $B$ 的公共部分。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由绝对值不等式的性质可知，集合 $A$ 的补集对应的条件即为对原不等式取反： ${\complement }_{U}A=\{x\mid |x-1|\le 2\}$ 解得： $-2\le x-1\le 2⟹-1\le x\le 3$ 即 ${\complement }_{U}A=[-1,3]$。

对于一元二次不等式 $x^2-6x+8<0$，进行因式分解： $(x-2)(x-4)<0$ 解得： $2<x<4$ 即 $B=(2,4)$。

将两集合在数轴上表示，求其公共部分： $({\complement }_{U}A)\cap B=[-1,3]\cap (2,4)=(2,3]$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：绝对值不等式 $|x|\le a⟺-a\le x\le a$；一元二次不等式的“两根之间”结论；集合交集（取公共部分）与补集（取相反部分）的概念。
• 核心方法：利用数轴表示区间可以直观且准确地处理集合的交、并、补运算。
• 避坑指南：在求补集和交集时，务必注意端点的开闭状态。
• $|x-1|>2$ 的补集是 $|x-1|\le 2$（含等号，闭区间 $[-1,3]$）。
• 最终与开区间 $(2,4)$ 求交集时，左端点 $2$ 为开，右端点 $3$ 为闭，因此结果是左开右闭区间 $(2,3]$，易错选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题将不等式求解与集合运算融为一体，属于高考中考查集合基本功的必考题型，源自人教A版必修第一册第一章的章末综合练习。 结论推广：集合的运算性质满足德·摩根定律（De Morgan’s laws）：${\complement }_U(A\cup B)=({\complement }_{U}A)\cap ({\complement }_{U}B)$ 且 ${\complement }_U(A\cap B)=({\complement }_{U}A)\cup ({\complement }_{U}B)$。在本题中，若先求 $A\cup ({\complement }_{U}B)$ 再取补集亦可得到相同结果。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 03.01 不等式解法体系
• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅱ文-02 单-集合交并补运算
• 2007-福建文-01 单-集合补集交集
• 2007-重庆文-02 单-集合补集与交集