2006-福建卷理-03 单-三角函数在各象限的符号

本题导读

本题考查三角函数的求值问题。首先利用同角三角函数的基本关系由正弦值求出正切值，再利用两角和的正切公式求得最终结果，重点考查对象限角符号的判定与公式的准确应用。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(理)） 已知 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，$\sin \alpha =\frac{3}{5}$，则 $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$ 等于()

A. $\frac{1}{7}$　　　　　　　B. $7$　　　　　　　C. $-\frac{1}{7}$　　　　　　　D. $-7$

🔍【思路分析】

破题导航

判定象限与求余弦值：由 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 可知 $\alpha$ 为第二象限角，其余弦值 $\cos \alpha$ 为负。利用 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 计算出 $\cos \alpha$。 求正切值：利用商数关系 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ 算出 $\tan \alpha$。 公式展开：代入两角和的正切公式 $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \alpha +\tan \frac{\pi }{4}}{1-\tan \alpha \cdot \tan \frac{\pi }{4}}$ 计算最终结果。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，所以 $\cos \alpha <0$。 由 $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ 得： $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=-\frac{4}{5}$

根据商数关系，可得 $\alpha$ 的正切值为： $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}$

利用两角和的正切公式，且已知 $\tan \frac{\pi }{4}=1$，得： $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \alpha +1}{1-\tan \alpha }=\frac{-\frac{3}{4}+1}{1-\left(-\frac{3}{4}\right)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}}=\frac{1}{7}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：同角三角函数的平方关系与商数关系；两角和的正切公式 $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$。
• 核心方法：通过“知一求二”（已知正弦求余弦、正切）来构建基础已知量，再进行公式展开。
• 避坑指南：开方求 $\cos \alpha$ 时，务必注意 $\alpha$ 所在的区间。若忽视 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 这一条件，错将 $\cos \alpha$ 算作 $\frac{4}{5}$，会导致 $\tan \alpha =\frac{3}{4}$，从而错选 B 或 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查三角恒等变换的基础计算，直接对应人教A版必修第一册中关于同角三角函数关系及两角和与差公式的课后练习题。 结论推广：对于形如 $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$ 的代数式，可直接记忆其化简变形公式：$\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1+\tan \alpha }{1-\tan \alpha }=\frac{\cos \alpha +\sin \alpha }{\cos \alpha -\sin \alpha }$。若本题直接代入后一个变形公式，分子为 $-\frac{4}{5}+\frac{3}{5}=-\frac{1}{5}$，分母为 $-\frac{4}{5}-\frac{3}{5}=-\frac{7}{5}$，亦可快速得出结果 $\frac{1}{7}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2007-北京卷理-01 单-同角三角函数基本关系式
• 2007-大纲Ⅰ文-02 单-同角三角函数求值
• 2009-大纲Ⅱ文-04 单-同角三角函数