2006-福建卷理-01 单-充要条件

本题导读

本题考查复数的乘法运算法则以及复数为实数的概念，主要检测学生对复数基本概念的掌握及代数运算能力。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(理)） 设 $a,b,c,d\in \mathbf{R}$，则复数 $(a+bi)(c+di)$ 为实数的充要条件是()

A. $ad-bc=0$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $ac-bd=0$

C. $ac+bd=0$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $ad+bc=0$

🔍【思路分析】

破题导航

展开复数乘积：利用复数的乘法法则展开表达式 $(a+bi)(c+di)$，并将其整理为代数形式 $A+Bi$（其中 $A,B\in \mathbf{R}$）。 实数的充要条件：复数为实数的充要条件是其虚部等于零（即 $B=0$），由此建立方程即可得出结论。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $a,b,c,d\in \mathbf{R}$，展开复数乘积得： $(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd{i}^2$

由于 $i^2=-1$，将其代入并按实部与虚部进行分组： $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$

根据复数的分类，该复数为实数的充要条件是虚部为 $0$，即： $ad+bc=0$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：复数的乘法运算 $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$；复数 $z=x+yi(x,y\in \mathbf{R})$ 为实数的充要条件是 $y=0$。
• 核心方法：直接法。通过代数变形将复数化为标准形式，再应用定义求解。
• 避坑指南：在计算虚部时，注意因式分解时的正负号，避免将 $(ad+bc)i$ 误记为 $(ad-bc)i$ 从而错选 A；同时要分清实部与虚部的概念，避免混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源于教材中复数代数运算的基本习题，是高考中对复数基础知识考查的经典题型，通常作为全卷的第一题，难度较低。 结论推广：

• 复数 $(a+bi)(c+di)$ 为纯虚数的充要条件是：$ac-bd=0$ 且 $ad+bc\ne 0$。
• 两个复数相乘的模等于它们模的乘积，即 $|(a+bi)(c+di)|=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \sqrt{c^2+d^2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2007-江西卷理-01 单-复数四则运算分母实数化