2006-福建文-14 填-抛物线切线定参

本题导读

本题考查抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(文)） 已知直线 $x-y-1=0$ 与抛物线 $y=a{x}^2$ 相切，则 $a=$ $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 直线即 $y=x-1$，代入抛物线：$a{x}^2=x-1$，即 $a{x}^2-x+1=0$。
2. 相切 $\iff$ 二次方程有两个相等实根：$\Delta =(-1{)}^2-4a=0$。
3. $a=\frac{1}{4}$。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

直线 $x-y-1=0$ 即 $y=x-1$。 代入 $y=a{x}^2$ 得 $a{x}^2=x-1$，即 $a{x}^2-x+1=0$。 直线与抛物线相切等价于方程有两个相等的实数根，判别式 $\Delta =1-4a=0$， 所以 $a=\frac{1}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线切线定参

核心方法：判别式为零

避坑指南：$y=x-1$ 代入 $y=a{x}^2$：$a{x}^2-x+1=0$，$\Delta =1-4a=0$，$a=\frac{1}{4}$；相切即唯一公共点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自抛物线与直线相切，判别式法经典题

结论推广: $\Delta =0$ 推广到一切二次相切问题

方法推广: 直线代入消元后判别式为零

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-22 解-抛物线切线
• 2011-四川卷文-11 单-抛物线切线与圆