2006-福建文-12 单-奇函数周期比大小

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及函数的周期性。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(文)） 已知 $f(x)$ 是周期为 $2$ 的奇函数，当 $0<x<1$ 时，$f(x)=\lg x$。设 $a=f\left(\frac{6}{5}\right)$，$b=f\left(\frac{3}{2}\right)$，$c=f\left(\frac{5}{2}\right)$，则 ()

A. $a<b<c$　　　　　B. $b<a<c$　　　　　C. $c<b<a$　　　　　D. $c<a<b$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 周期 $2$：$f\left(\frac{6}{5}\right)=f\left(-\frac{4}{5}\right)$，$f\left(\frac{3}{2}\right)=f\left(-\frac{1}{2}\right)$，$f\left(\frac{5}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)$。
2. 奇函数：$a=-f\left(\frac{4}{5}\right)=-\lg \frac{4}{5}=\lg \frac{5}{4}$，$b=-\lg \frac{1}{2}=\lg 2$，$c=\lg \frac{1}{2}$。
3. $\lg$ 递增且 $\frac{1}{2}<\frac{5}{4}<2$：$c<a<b$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由周期为 $2$：$f\left(\frac{6}{5}\right)=f\left(\frac{6}{5}-2\right)=f\left(-\frac{4}{5}\right)$，$f\left(\frac{3}{2}\right)=f\left(-\frac{1}{2}\right)$，$f\left(\frac{5}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)$。 由奇函数：$f\left(-\frac{4}{5}\right)=-f\left(\frac{4}{5}\right)=-\lg \frac{4}{5}=\lg \frac{5}{4}$，$f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\lg \frac{1}{2}=\lg 2$。 所以 $a=\lg \frac{5}{4}$，$b=\lg 2$，$c=f\left(\frac{1}{2}\right)=\lg \frac{1}{2}$。 $\lg x$ 在 $(0,+\infty )$ 单调递增，且 $\frac{1}{2}<\frac{5}{4}<2$，故 $\lg \frac{1}{2}<\lg \frac{5}{4}<\lg 2$，即 $c<a<b$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数周期比大小

核心方法：负化正大化小再比单调

避坑指南：$f(\frac{6}{5})=f(-\frac{4}{5})=-f(\frac{4}{5})$，$f(\frac{5}{2})=f(\frac{1}{2})$；$\lg x$ 递增且 $\frac{4}{5}>\frac{1}{2}$，得 $c<a<b$；先移到 $(0,1)$ 内再比

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自奇偶性与周期性综合，函数值大小比较

结论推广: 大化小到单调区间推广到一切周期奇函数

方法推广: 负化正、大化小是固定套路

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-12 单-奇函数周期
• 2008-湖北文-06 单-奇函数周期求值