2006-福建文-07 单-正方体外接球

本题导读

本题考查正方体的结构，以及球的体积。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(文)） 已知正方体外接球的体积是 $\frac{32}{3}\pi$，那么正方体的棱长等于 ()

A. $2\sqrt{2}$　　　　　　B. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$　　　　　　C. $\frac{4\sqrt{2}}{3}$　　　　　　D. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{32}{3}\pi \Rightarrow R^3=8\Rightarrow R=2$，直径 $2R=4$。
2. 正方体外接球直径=体对角线：$\sqrt{3}a=4$。
3. $a=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设球半径为 $R$，由 $\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{32}{3}\pi$ 得 $R^3=8$，$R=2$，直径 $2R=4$。 正方体的体对角线长为 $\sqrt{a^2+a^2+a^2}=\sqrt{3}a$，外接球直径等于体对角线： $\sqrt{3}a=4$，所以 $a=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体外接球

核心方法：体对角线等于直径

避坑指南：$\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{32}{3}\pi \Rightarrow R=2$，体对角线 $2R=4=\sqrt{3}a$，$a=\frac{4\sqrt{3}}{3}$；别把面对角线当体对角线

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自正方体外接球，最经典的外接球模型

结论推广: 体对角线=直径推广到长方体与柱锥外接球

方法推广: 先求 $R$ 再找 $\sqrt{3}a=2R$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-10 填-正方体外接球
• 2008-浙江文-15 填-外接球体积