2006-湖南卷理-20 解-函数单调性与最值求解

本题导读

（1）方案甲中，设用水量为x，则x+0.8x+1=0.99,0.01x=0.19,。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(理)） 对 1 个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：$1-\frac{\text{污物质量}}{\text{物体质量（含污物）}}$）为 0.8，要求洗完后的清洁度是 0.99。有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗。该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为 $a$ ($1\le a\le 3$)。设用 $x$ 单位质量的水初次清洗后的清洁度是 $\frac{x+0.8}{x+1}$ ($x>a-1$)，用 $y$ 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是 $\frac{y+ac}{y+a}$，其中 $c$ ($0.8<c<0.99$) 是该物体初次清洗后的清洁度。 （1）分别求出方案甲以及 $c=0.95$ 时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少； （2）若采用方案乙，当 $a$ 为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论 $a$ 取不同数值时对最少总用水量多少的影响。

🔍【思路分析】

破题导航

第一问：方案甲只洗一次，清洁度直接达到 $0.99$，代入 $x$ 的清洁度公式求出 $x$。方案乙分两步，先洗到 $c=0.95$ 求出 $x_1$，再将 $c=0.95$ 代入第二次公式且达到 $0.99$ 求出 $y_1$，总用水量为 $x_1+y_1$，作差比较大小。 第二问：总用水量 $S=x+y$。由第一次洗后的清洁度 $c=\frac{x+0.8}{x+1}$，第二次最终清洁度满足 $\frac{y+ac}{y+a}=0.99$。通过消元法将 $y$ 用 $x$ 表示（或将 $x,y$ 统一用 $c$ 表示），运用基本不等式求出总用水量的最小值，最后结合 $a$ 的取值范围讨论最小值的代数式。

✅【答案】

Success

（1）方案甲中，设用水量为x，则x+0.8x+1=0.99,0.01x=0.19,

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）方案甲： 一次清洗达到 0.99。 由 $\frac{x+0.8}{x+1}=0.99⟹x+0.8=0.99x+0.99⟹0.01x=0.19⟹x=19$。 即方案甲的用水量为 19 单位。

方案乙： $c=0.95$ 时。 初次清洗：$\frac{x+0.8}{x+1}=0.95⟹x+0.8=0.95x+0.95⟹0.05x=0.15⟹x=3$。 第二次清洗：将 $c=0.95$ 代入第二次清洗公式并令其达到 0.99： $\frac{y+0.95a}{y+a}=0.99⟹y+0.95a=0.99y+0.99a⟹0.01y=0.04a⟹y=4a$ 方案乙的总用水量为 $W=x+y=3+4a$。

方案比较： 由于 $1\le a\le 3$，所以 $7\le 3+4a\le 15$。 显然 $3+4a<19$ 恒成立，故方案乙的用水量较少。

（2）设方案乙中初次清洗用水量为 $x$，第二次清洗用水量为 $y$，总用水量为 $S=x+y$。 由题意，初次清洗后的清洁度为 $c=\frac{x+0.8}{x+1}⟹c(x+1)=x+0.8⟹x=\frac{0.8-c}{c-1}=\frac{1}{1-c}-0.2$。 第二次清洗最终清洁度达到 0.99： $\frac{y+ac}{y+a}=0.99⟹y+ac=0.99y+0.99a⟹0.01y=a(0.99-c)⟹y=a(99-100c)$

总用水量 $S$ 关于 $c$ 的函数关系式为： $S=x+y=\frac{1}{1-c}-0.2+a(99-100c)=\frac{1}{1-c}+100a(1-c)-a-0.2$

因为 $0.8<c<0.99$，所以 $1-c>0$。 由基本不等式可得： $S\ge 2\sqrt{\frac{1}{1-c}\cdot 100a(1-c)}-a-0.2=20\sqrt{a}-a-0.2$ 当且仅当 $\frac{1}{1-c}=100a(1-c)⟹(1-c{)}^2=\frac{1}{100a}⟹1-c=\frac{1}{10\sqrt{a}}$ 时，等号成立。 此时 $c=1-\frac{1}{10\sqrt{a}}$。

由于 $0.8<c<0.99⟹0.01<1-c<0.2⟹0.01<\frac{1}{10\sqrt{a}}<0.2⟹5<\sqrt{a}<10⟹25<a<100$。 但已知已知条件中 $1\le a\le 3$，说明在此实际范围内，等号无法取得（此时 $\frac{1}{10\sqrt{a}}\ge \frac{1}{10\sqrt{3}}\approx 0.0577>0.01$，但对于上限而言 $\frac{1}{10\sqrt{a}}\ge \frac{1}{10\sqrt{3}}>0.2$ 不满足）。 重新评估自变量范围： 当 $1\le a\le 3$ 时，$\sqrt{a}\in [1,\sqrt{3}]$，故 $\frac{1}{10\sqrt{a}}\in \left[\frac{1}{10\sqrt{3}},\frac{1}{10}\right]$。 因为 $\left[\frac{1}{10\sqrt{3}},\frac{1}{10}\right]\subset (0.01,0.2)$，所以满足 $0.01<1-c<0.2$。 也就是说，在 $1\le a\le 3$ 的任何定值下，使等号成立的 $c=1-\frac{1}{10\sqrt{a}}$ 均在 $(0.8,0.99)$ 的有效范围内。

因此，当初次用水量 $x=10\sqrt{a}-0.2$，第二次用水量 $y=10\sqrt{a}-a$ 时（对应 $c=1-\frac{1}{10\sqrt{a}}$），总用水量最少。 最少总用水量为 $S_{\min }=20\sqrt{a}-a-0.2$。

讨论 $a$ 的大小对最少总用水量的影响： 令 $h(a)=20\sqrt{a}-a-0.2$，其中 $a\in [1,3]$。 令 $t=\sqrt{a}\in [1,\sqrt{3}]$，则 $h(t)=-t^2+20t-0.2$。 此二次函数的对称轴为 $t=10$。 因为 $t\in [1,\sqrt{3}]$ 在对称轴的左侧，所以 $h(t)$ 在 $[1,\sqrt{3}]$ 上单调递增。 即最少总用水量 $S_{\min }$ 随 $a$ 的增大而增大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：函数模型的构建、利用基本不等式求最值、二次函数单调性的区间讨论。
• 核心方法：换元法、代数消元法、讨论法。
• 避坑指南：在（2）中利用基本不等式后，必须严密校验等号成立的条件 $1-c=\frac{1}{10\sqrt{a}}$ 是否落在区间 $(0.01,0.2)$ 内。若直接忽略对定义域的检验，其推导逻辑将是不严谨的。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源自课本中“基本不等式应用题”的经典升级模型，利用两次清洗的复合浓度比例建立复杂的代数式，考查实际问题向数学语言转化的能力。 结论推广：多次清洗模型中，当每步损耗因子为常数比时，将各步洗涤效率均分（即各步分配满足几何平均结构）时，总用水量通常取得极小值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-湖北文-19 解-广告尺寸均值不等式
• 2008-江西卷理-22 解-均值不等式