2006-湖南卷理-17 解-互斥事件与对立事件的概率

本题导读

本题考查概率与统计中的二项分布模型及其应用。核心在于正确理解题干中两次安检事件的独立性与因果关系，将实际问题分别转化为求二项分布的特定项概率、数学期望以及利用对立事件简化计算。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(理)） 某安全生产监督部门对 5 家小型煤矿进行安全检查（简称安检）. 若安检不合格，则必须整改. 若整改后经复查仍不合格，则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是 0.5，整改后安检合格的概率是 0.8，计算（结果精确到 0.01）：

(1) 恰好有两家煤矿必须整改的概率；

(2) 平均有多少家煤矿必须整改；

(3) 至少关闭一家煤矿的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

第(1)问：“必须整改”等价于初次安检不合格，单家煤矿不合格概率为 $1-0.5=0.5$。5家煤矿相互独立，必须整改的煤矿数 $X$ 服从二项分布 $B(5,0.5)$，利用二项分布概率通项求 $P(X=2)$。 第(2)问：求必须整改的煤矿数 $X$ 的期望值 $E(X)$，直接利用二项分布期望公式 $E(X)=np$ 计算。 第(3)问：单家煤矿被“强制关闭”需同时满足初次不合格与复查不合格，其概率为二者之积。设关闭煤矿数为 $Y$，则 $Y$ 服从二项分布，“至少关闭一家”转化为对立事件 $1-P(Y=0)$ 求解。

✅【答案】

Success

(1) $0.31$

(2) $2.5$ 家

(3) $0.41$

✍【详细解析】

Abstract

根据题意，每家煤矿整改前安检不合格（即必须整改）的概率为： $p_1=1-0.5=0.5$ 整改后复查不合格的概率为： $p_2=1-0.8=0.2$

(1) 恰好有两家煤矿必须整改的概率

设 5 家煤矿中必须整改的煤矿家数为随机变量 $X$，则 $X\sim B(5,0.5)$。 恰好有两家煤矿必须整改的概率为： $P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)\times 0.5^2\times (1-0.5{)}^{5-2}=10\times 0.25\times 0.125=0.3125$ 精确到 0.01，得 $P(X=2)\approx 0.31$。

(2) 平均有多少家煤矿必须整改

由 $X\sim B(5,0.5)$ 可知，必须整改的煤矿家数的数学期望为： $E(X)=n\cdot p_1=5\times 0.5=2.5$

(3) 至少关闭一家煤矿的概率

一家煤矿被强制关闭，必须同时满足“初次安检不合格”与“整改后复查不合格”两个条件。由于两次检查相互独立，单家煤矿被强制关闭的概率为： $p=p_1\times p_2=0.5\times 0.2=0.1$ 设 5 家煤矿中被强制关闭的煤矿家数为随机变量 $Y$，则 $Y\sim B(5,0.1)$。 “至少关闭一家煤矿”的对立事件为“没有煤矿被关闭”（即 $Y=0$）。 $P(Y=0)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{0}\right)\times 0.1^0\times (1-0.1{)}^5=0.9^5=0.59049$ 因此，至少关闭一家煤矿的概率为： $P(Y\ge 1)=1-P(Y=0)=1-0.59049=0.40951$ 精确到 0.01，得 $P(Y\ge 1)\approx 0.41$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：独立重复试验的判定、二项分布 $B(n,p)$ 的概率与期望公式、对立事件概率公式。
• 核心方法：分层事件乘法公式、对立面简化法。
• 避坑指南：
• 题干中“合格率”与“不合格率（整改/关闭率）”需要准确互化，如第(1)问中应使用不合格率 $0.5$。
• 第(3)问中单家煤矿关闭的概率是条件相继发生的独立事件，必须先用乘法原理求出 $p=0.1$，切勿直接使用 $0.2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是将生产安全检验实际问题数学化的经典概率大题，直接取材于人教A版选择性必修第三册第七章《随机变量及其分布》中关于二项分布与独立性的课后综合应用。 结论推广: 对于多阶段独立检验的通过性模型，设首轮不合格率为 $p_1$，次轮不合格率为 $p_2$，则总淘汰率 $p=p_1{p}_2$。若样本总量为 $n$，则最终淘汰数服从 $B(n,p_1{p}_2)$，至少有 1 个被淘汰的概率通式为 $1-(1-p_1{p}_2{)}^n$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2007-江苏卷-17 解-独立重复试验概率
• 2008-大纲Ⅱ文-19 解-射击独立事件概率