2006-湖南卷理-15 填-平面区域的向量边界量化

本题导读

本题考查平面向量基本定理在平面几何区域中的创新应用。核心是将几何中由平行线和延长线围成的动态开放区域，转化为向量共线定理的边界不等式约束。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(理)） 如图， $OM\parallel AB$，点 $P$ 在由射线 $OM$、线段 $OB$ 及 $AB$ 的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且 $\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，则 $x$ 的取值范围是$\underline{}$；当 $x=-\frac{1}{2}$ 时， $y$ 的取值范围是$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

确定 $x$ 的范围：分析区域的三条边界线。边界一为线段 $OB$（对应 $x=0$）；边界二为射线 $OM$，由于 $OM\parallel AB$，利用向量平移和共线特征，分析从 $O$ 沿 $OM$ 方向移动时 $\overrightarrow{OA}$ 的系数变化规律。边界三为 $AB$ 的延长线，利用三点共线定理 $\overrightarrow{OP}=\lambda \overrightarrow{OA}+(1-\lambda )\overrightarrow{OB}$ 分析系数边界。 确定给定 $x$ 时的 $y$ 范围：将 $x=-\frac{1}{2}$ 固定，此时点 $P$ 落在平行于 $OB$ 的某条定直线上。通过解析几何或向量数形结合，求出这条定直线与射线 $OM$ 及其它边界的交点，从而限定 $y$ 的上下界。

✅【答案】

Success

$(-\infty ,0)$ ； $\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

1. 求解第一个空：确定 $x$ 的取值范围

设区域内的任意动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$。根据平面向量基本定理与三点共线定理，我们逐一分析该动态区域的不含边界条件：

• 边界一：直线 $OB$ 若点 $P$ 在直线 $OB$ 上，显然 $\overrightarrow{OP}$ 不需要 $\overrightarrow{OA}$ 分量，此时 $x=0$。由于区域在 $OB$ 的左侧（朝向 $OM$ 的方向，偏离 $\overrightarrow{OA}$），故要求： $x<0$

• 边界二：直线 $AB$ 及其延长线 由 $A,B$ 及 $AB$ 的延长线可知，任何落在直线 $AB$ 上的点 $P_0$，其向量表示必满足系数和为 1，即 $\overrightarrow{O{P}_0}=x_0\overrightarrow{OA}+y_0\overrightarrow{OB}$ 且 $x_0+y_0=1$。 当点 $P$ 位于直线 $AB$ 的右上方（即 $AB$ 的延长线侧围成的内部区域）时，由于从原点向外延伸，对应的整体位移增大，且区域处于偏离 $OB$、顺着 $AB$ 延展的这一侧。 更严格地，利用基底平移：因为 $OM\parallel AB$，设 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$。 射线 $OM$ 的方向与 $\overrightarrow{AB}$ 相反（由图可直观看出，从 $B$ 到 $A$ 的方向与 $O$ 到 $M$ 的方向同向），即 $\overrightarrow{OM}$ 的方向与 $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$ 同向。 由此可见，当点 $P$ 从 $OB$ 边界向左移向 $OM$ 时，其 $\overrightarrow{OA}$ 的系数 $x$ 会不断变小（变为更小的负数），而没有下限限制，即 $x\to -\infty$。

综上分析， $x$ 的取值范围是 $(-\infty ,0)$。

2. 求解第二个空：当 $x=-\frac{1}{2}$ 时 $y$ 的取值范围

当 $x=-\frac{1}{2}$ 时，向量表达式变为： $\overrightarrow{OP}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$

我们在图形中进行几何定位。延长 $AO$ 至 $A^{\prime }$，使得 $O{A}^{\prime }=\frac{1}{2}OA$，则 $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$。 此时， $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{O{A}^{\prime }}+y\overrightarrow{OB}$。 根据向量加法的平行四边形法则，当 $y$ 变化时，点 $P$ 的轨迹是以 $A^{\prime }$ 为基准点、平行于 $OB$ 的一条直线 $l$。

我们需要找到这条直线 $l$ 与区域边界（射线 $OM$ 和直线 $AB$）的交点位置：

• 交点一：直线 $l$ 与射线 $OM$ 的交点 因为 $OM\parallel AB$，由几何相似性或向量共线可知： $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$。 射线 $OM$ 的方向向量可写为 $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$。 设 $\overrightarrow{OP}=\mu \overrightarrow{OM}=\mu (\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})=\mu \overrightarrow{OA}-\mu \overrightarrow{OB}$。 将此式与 $\overrightarrow{OP}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$ 进行基底系数比对： $\{\begin{array}{l}\mu =-\frac{1}{2}\\ -\mu =y\end{array}⟹y=-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$ 由于点 $P$ 位于射线 $OM$ 的右侧区域内（不含边界），故 $y$ 必须大于该临界值，即 $y>\frac{1}{2}$。

• 交点二：直线 $l$ 与 $AB$ 延长线的交点 根据前面所述，凡是落在直线 $AB$ 上的点，其基底系数之和必恒等于 1。 代入 $x=-\frac{1}{2}$，得： $x+y=1⟹-\frac{1}{2}+y=1⟹y=\frac{3}{2}$ 由于点 $P$ 位于 $AB$ 延长线的左下方区域内，故 $y$ 必须小于该临界值，即 $y<\frac{3}{2}$。

综合两个边界限制，当 $x=-\frac{1}{2}$ 时， $y$ 的取值范围是 $\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：平面向量基本定理 $\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$ 的系数几何空间分布特征；三点共线定理的延伸应用（ $x+y=1$ 代表直线 $AB$）。
• 核心方法：斜坐标系建系法（仿射变换）、向量边界交点法。
• 避坑指南：
• 很多同学对于第一个空容易误填成 $(-1,0)$，错误地认为由于 $P$ 在射线 $OM$ 围成的区域内部， $x$ 会被限制在 $-1$ 以内。必须注意到射线 $OM$ 是无限延伸的，随着其向左上方无限延伸， $x$ 对应的负值可以无限小。
• 最终答案必须用开区间表示（如题干明确要求“不含边界”），若写成闭区间将被扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查平面向量共线及线性表出空间区域的压轴填空题。其深刻的高等数学背景为仿射坐标系（Affine Coordinate System）与凸锥组合（Convex Cone），将传统的直角坐标系区域映射问题成功转化为斜基底下的代数约束。 结论推广: 设 $\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，由向量基本定理可知：

• $x>0,y>0,x+y<1⟺$ 点 $P$ 落在 $△OAB$ 内部；
• $x+y=1⟺$ 点 $P$ 落在直线 $AB$ 上；
• 本题中由平行线 $OM\parallel AB$ 围成的特殊开放条带区域，通过仿射变换后，本质上等价于直角坐标系下由 $y$ 轴、直线 $x+y=1$ 以及斜线限制出的半开放域。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2007-大纲卷I理-06 单-二元一次不等式组表示平面区域
• 2008-湖北文-05 单-不等式组平面区域