2006-湖南卷理-12 填-两点间距离的几何意义

本题导读

本题考查线性规划与非线性目标函数的最值问题。核心是将目标函数 $x^2+y^2$ 转化为可行域内的动点到坐标原点距离的平方，通过数形结合确定几何临界点。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(理)） 已知 $\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ x-y+1\le 0\\ 2x-y-2\le 0\end{array}$，则 $x^2+y^2$ 的最小值是$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

根据不等式组绘制出可行域，确定其边界和顶点坐标． 明确目标函数 $z=x^2+y^2$ 的几何意义是可行域内的动点 $P(x,y)$ 到原点 $O(0,0)$ 距离的平方． 寻找原点到可行域内各点距离的最小值点，通过计算点点距离或点线距离得出结果．

✅【答案】

Success

$5$

✍【详细解析】

Abstract

将不等式组变形为更直观的边界形式： $\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ y\ge x+1\\ y\ge 2x-2\end{array}$

在平面直角坐标系中画出该不等式组对应的可行域（为一个向右上方无限延伸的无界区域）。 求解可行域的边界交点（顶点）：

• 联立 $x=1$ 与 $y=x+1$，解得交点为 $A(1,2)$。
• 联立 $y=x+1$ 与 $y=2x-2$，解得交点为 $B(3,4)$。

目标函数 $z=x^2+y^2$ 表示可行域内的动点 $P(x,y)$ 到原点 $O(0,0)$ 的距离的平方。 由图可知，原点 $O(0,0)$ 到该可行域的最近点应当在边界上进行考查：

• 原点到直线 $x-y+1=0$ 的垂足为 $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$，不满足 $x\ge 1$，不在可行域内。
• 原点到直线 $2x-y-2=0$ 的垂足为 $\left(\frac{4}{5},-\frac{2}{5}\right)$，不满足 $x\ge 1$，不在可行域内．
• 考查边界段 $x=1$ ($y\ge 2$)，其上点到原点距离平方为 $1+y^2\ge 1+2^2=5$。

因此，距离原点最近的点即为可行域的顶点 $A(1,2)$。 所以， $x^2+y^2$ 的最小值为： $z_{\text{min}}=1^2+2^2=5$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：可行域的正确绘制；非线性目标函数（距离型、斜率型、截距型）几何意义的转化．
• 核心方法：数形结合边界分析法．
• 避坑指南：不可盲目套用点到直线距离公式求得垂线段直接作为答案，必须验证垂足（点到直线最近的点）是否落在满足约束条件的可行域内部或边界段上。若不在，则最值通常在区域的顶点处取得．

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题属于解析几何与不等式交叉的经典小题，取材于人教A版选择性必修第一册第一章《空间直角坐标系》及必修第五章关于线性规划的拓展题型． 结论推广: 形如 $z=(x-a{)}^2+(y-b{)}^2$ 的目标函数，其本质均为可行域内动点到定点 $(a,b)$ 的距离平方。求解时第一步判断定点是否在区域内部（若在，最小值为0）；第二步若在外部，通过垂线段（需验证垂足有效性）或顶点比对锁定最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 05.02 函数的四大性质
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-12 填-线性规划距离
• 2013-山东卷文-14 填-线性规划距离