2006-湖南卷理-09 单-空间中多面体截面面积计算

本题导读

本题考查正四面体外接球的截面几何问题。核心在于通过正四面体的高度对称性，判定过球心的三角形截面在正四面体中的具体几何位置，进而利用平面几何知识求解其面积。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(理)） 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是() ()

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

分析正四面体外接球球心的空间特征，球心即为正四面体的中心（四个对角中位线段的交点）。 根据“过球心的截面是三角形”这一特殊条件，确定该截面必定经过正四面体的一条棱以及这条棱相对棱的中点。 判定出该截面三角形的边长结构，利用勾股定理求出其高，进而计算出面积。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设该正四面体为 $ABCD$，其棱长 $a=2$。 正四面体的外接球球心 $O$ 恰好是连接任意两组相对棱中点线段的中点。

要想让过球心 $O$ 的截面在正四面体内部形成的交线是一个三角形，该截面在三维空间中的位置是唯一的： 它必须包含正四面体的一条棱（不妨设为 $AB$）以及该棱相对棱（ $CD$）的中点（设为 $M$）。

此时，截面三角形即为 $△ABM$：

• 边 $AB$ 是正四面体的棱，长为 $2$；
• 边 $AM$ 是等边 $△ACD$ 的中线（也是高线），由棱长为 2 可得： $AM=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
• 边 $BM$ 是等边 $△BCD$ 的中线（也是高线），同理： $BM=\sqrt{3}$

因此，该截面三角形是一个以 $AB=2$ 为底边， $AM=BM=\sqrt{3}$ 为两腰的等腰三角形。

取底边 $AB$ 的中点 $N$，连接 $MN$，则 $MN\perp AB$。 $MN$ 即为 $△ABM$ 的底边高。 在直角 $△AMN$ 中，底边半长 $AN=1$，斜边 $AM=\sqrt{3}$，由勾股定理可得： $MN=\sqrt{A{M}^2-A{N}^2}=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2-1^2}=\sqrt{2}$

所以，该截面三角形的面积为： $S=\frac{1}{2}\times \text{底}\times \text{高}=\frac{1}{2}\times AB\times MN=\frac{1}{2}\times 2\times \sqrt{2}=\sqrt{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：正四面体的中心与外接球性质；正四面体特殊剖面的识别；等腰三角形面积计算。
• 核心方法：空间截面分析法。
• 避坑指南：
• 很多同学易被给出的平面示意图误导，误认为截面三角形的三个顶点都在球面上（即属于正四面体的三个顶点构成的面）。事实上，过球心的平面不可能同时经过正四面体的三个顶点（每个面距离球心均为 $\frac{\sqrt{6}}{6}a\ne 0$）。
• 图中的圆形仅代表球体过球心切开的大圆，三角形顶点一端的 $M$ 点是在大圆内部而非圆周上，图示为不严格的透视示意。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查正多面体与球体组合切面几何性质的立体几何压轴选择题。其深刻的高等数学背景为空间凸多面体的中心截面投影（Central Sections of Polyhedra），考查空间对称群的结构理解。 结论推广: 对于任意棱长为 $a$ 的正四面体，过其外接球球心且形状为三角形的截面是唯一确定的，其三边长恒为 $a,\frac{\sqrt{3}}{2}a,\frac{\sqrt{3}}{2}a$。该截面三角形面积的通用计算公式为 $S=\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^2$。本题代入 $a=2$，直接算得 $S=\frac{\sqrt{2}}{4}\times 4=\sqrt{2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.07 四面体的性质
• 13.02 外接球和内切球模型
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2008-安徽文-16 填-球面距离
• 2012-四川卷文-10 单-球面距离与截面