2006-湖南卷理-07 单-离心率的求解

本题导读

本题考查双曲线的渐近线几何性质及离心率的计算。核心在于通过已知线段相等转化为中点坐标特征，联立直线方程与渐近线方程求解出双曲线的特征参量比值。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(理)） 过双曲线 $M:x^2-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左顶点 $A$ 作斜率为 1 的直线 $l$，若 $l$ 与双曲线 $M$ 的两条渐近线分别相交于点 $B,C$，且 $|AB|=|BC|$，则双曲线 $M$ 的离心率是()

A. $\sqrt{10}$　　　　　　　B. $\sqrt{5}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{10}}{3}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{5}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

由双曲线方程写出左顶点 $A(-1,0)$ 及两条渐近线方程 $y=bx$ 与 $y=-bx$。 根据斜率写出直线 $l:y=x+1$，由于 $|AB|=|BC|$ 且三点共线，说明 $B$ 是线段 $AC$ 的中点。 分别联立直线与两条渐近线求出交点横坐标，利用中点坐标公式建立关于 $b$ 的代数方程，解出 $b$ 后求离心率 $e=\sqrt{1+b^2}$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线 $M:x^2-\frac{y^2}{b^2}=1$ 可知， $a=1$。 其左顶点坐标为 $A(-1,0)$，两条渐近线方程分别为 $l_1:y=bx$ 和 $l_2:y=-bx$。 过点 $A(-1,0)$ 且斜率为 1 的直线 $l$ 的方程为： $y=x+1$

直线 $l$ 与两条渐近线分别交于 $B,C$ 两点。因为 $|AB|=|BC|$ 且 $A,B,C$ 在同一条直线上，所以 $B$ 必为线段 $AC$ 的中点。

将直线 $l$ 分别与两条渐近线联立：

• 联立 $\{\begin{array}{l}y=x+1\\ y=-bx\end{array}⟹-bx=x+1⟹x_B=\frac{-1}{b+1}$，对应交点为 $B\left(\frac{-1}{b+1},\frac{b}{b+1}\right)$。
• 联立 $\{\begin{array}{l}y=x+1\\ y=bx\end{array}⟹bx=x+1⟹x_C=\frac{1}{b-1}$，对应交点为 $C\left(\frac{1}{b-1},\frac{b}{b-1}\right)$。

(注：若交换 $B,C$ 所在渐近线的位置，带入中点公式将导致参数 $b$ 无正实数解，故合理的几何对应必为 $B$ 在 $y=-bx$ 上， $C$ 在 $y=bx$ 上)

由于 $B$ 是线段 $AC$ 的中点，根据中点横坐标公式 $2x_B=x_A+x_C$，代入各点横坐标得： $2\cdot \left(\frac{-1}{b+1}\right)=-1+\frac{1}{b-1}$ $\frac{-2}{b+1}=\frac{2-b}{b-1}$

交叉相乘化简方程： $-2(b-1)=(b+1)(2-b)$ $-2b+2=2b-b^2+2-b$ $-2b+2=-b^2+b+2$ $b^2-3b=0$

因为双曲线参数 $b>0$，解得： $b=3$

根据双曲线离心率的计算公式（此时 $a=1$）： $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+3^2}=\sqrt{10}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：双曲线渐近线方程形式；直线的点斜式方程；线段相等的几何意义向中点坐标公式的转化。
• 核心方法：坐标解析法（方程联立法）。
• 避坑指南：
• 直线与两条渐近线的交点顺序具有特定的几何对应。在代入中点公式时，若发现解出的 $b\le 0$ 或无解，说明交点的先后名称代入颠倒，应立即调换 $B,C$ 的坐标关系重新计算。
• 牢记双曲线离心率公式中平方和的关系 $e^2=1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2$，切勿与椭圆的平方差关系混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查双曲线渐近线代数性质的经典圆锥曲线选择压轴题，取材于人教A版选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》中关于双曲线几何性质的综合复习习题。 结论推广: 若过双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左顶点 $A(-a,0)$ 作斜率为 $k$ 的直线，与渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 相交于 $B,C$，若 $B$ 为 $AC$ 中点，通过代数消元可推广得到特征参量恒等式： $b^2-3kba=0$。当 $a=1,k=1$ 时，直接退化为本题的简易方程 $b^2-3b=0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2007-新课标Ⅰ文-13 填-双曲线的离心率（渐近线距离）
• 2012-江西卷文-08 单-椭圆等比条件离心率