本题导读
本题考查排列组合的实际应用。核心在于合理选择分类标准，或者利用对立事件（间接法）从总方案数中排除不合题意的方案。
📌【题干】
Question
（2006年湖南卷(理)） 某外商计划在 4 个候选城市投资 3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过 2 个，则该外商不同的投资方案有()
A. 16 种 B. 36 种 C. 42 种 D. 60 种
🔍【思路分析】
破题导航
间接法：先计算 3 个不同项目任意分配到 4 个城市的总方案数。 找出不符合“同一个城市投资项目不超过 2 个”的反面情况，即 3 个项目全部投给同一个城市，并计算其种数。 用总数减去反面情况即得结果。
✅【答案】
Success
D
✍【详细解析】
Abstract
方法一：间接法（排除法）
- 每个不同的项目都可以从 4 个候选城市中任意选择一个，因此 3 个项目任意分配的总方案数为：
- 题干要求“同一个城市投资的项目不超过 2 个”，其对立面为“有 3 个项目投资在同一个城市”。 由于只有 3 个项目，这种情况即 3 个项目全投在同一个城市。从 4 个城市中选出这一个城市，方案数为：
- 故符合题意的投资方案种数为：
方法二：直接分类法 将 3 个不同的项目分配到 4 个城市中，且每城不超过 2 个，只有以下两种布局：
“1, 1, 1”型（3个项目分别投在3个不同的城市）： 先从 4 个城市中选出 3 个，再将 3 个不同的项目全排列分配，方案数为：
“2, 1”型（一个城市投2个项目，另一个城市投1个项目）： 先将 3 个不同项目分为 2 个一组和 1 个一组，有 种分法；再从 4 个城市中选出 2 个进行有顺序的排列分配，有 种选法。方案数为：
综合两类，总投资方案数为：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：多重独立选择的乘法原理；有限制条件的元素分配问题。
- 核心方法：正难则反的排除法。
- 避坑指南：由于项目是“不同的”，在使用直接法分类时，将项目分堆（如分为2个和1个）必须使用组合数 保证元素的差异性，切勿当成无差别的相同元素处理。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源: 本题是考查计数原理中经典“分配模型”的独立选择题，取材于人教A版选择性必修第三册第六章《计数原理》中关于排列组合应用题的课后习题。 结论推广: 将 个不同的元素任意分配到 个不同的位置中，总分配方法数为 。当限制条件较少且极端时（如某位置不能全占），利用对立面排除法（ ）往往能实现秒杀。
🔗【关联脉络】
Multi column