2006-湖南卷理-05 单-向量的夹角及其范围

本题导读

本题主要考查一元二次方程有实根的充要条件（判别式法）与平面向量数量积定义的综合应用。核心在于利用判别式构建关于向量夹角余弦值的不等式，进而求解夹角的范围。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(理)） 已知 $|\vec{a}|=2|\vec{b}|\ne 0$，且关于 $x$ 的方程 $x^2+|\vec{a}|x+\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ 有实根，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的取值范围是()

A. $\left[0,\frac{\pi }{6}\right]$　　　　B. $\left[\frac{\pi }{3},\pi \right]$　　　　C. $\left[\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}\right]$　　　　D. $\left[\frac{\pi }{6},\pi \right]$

🔍【思路分析】

破题导航

根据关于 $x$ 的一元二次方程有实根，列出判别式条件 $\Delta \ge 0$。 将平面向量数量积定义 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$ 代入判别式不等式中。 结合已知模长关系 $|\vec{a}|=2|\vec{b}|\ne 0$ 进行消元化简，解出 $\cos \theta$ 的取值范围，最后根据夹角定义域 $\theta \in [0,\pi ]$ 确定其范围。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\theta$，根据向量数量积的定义有： $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cos \theta$

因为关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+|\vec{a}|x+\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ 有实根，所以其判别式 $\Delta$ 必须大于或等于零，即： $\Delta =|\vec{a}{|}^2-4\cdot 1\cdot (\vec{a}\cdot \vec{b})\ge 0$ $⟹|\vec{a}{|}^2-4|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cos \theta \ge 0$

由于已知 $|\vec{a}|=2|\vec{b}|\ne 0$，两边同除以非零常数 $|\vec{a}|$，不等式可化简为： $|\vec{a}|-4|\vec{b}|\cos \theta \ge 0$

再将 $|\vec{a}|=2|\vec{b}|$ 代入上式中，得： $2|\vec{b}|-4|\vec{b}|\cos \theta \ge 0$ $2|\vec{b}|(1-2\cos \theta )\ge 0$

因为 $|\vec{b}|\ne 0$，所以 $2|\vec{b}|>0$，两边同时除以 $2|\vec{b}|$ 不等号方向不变： $1-2\cos \theta \ge 0⟹\cos \theta \le \frac{1}{2}$

又因为向量夹角的取值范围规定为 $\theta \in [0,\pi ]$，且余弦函数在该区间内单调递减： 当 $\cos \theta =\frac{1}{2}$ 时， $\theta =\frac{\pi }{3}$。 所以由 $\cos \theta \le \frac{1}{2}$ 可得： $\theta \in \left[\frac{\pi }{3},\pi \right]$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：方程有实根的边界条件 $\Delta \ge 0$；向量数量积的公式展开 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$。
• 核心方法：代数消元法、三角不等式求解法。
• 避坑指南：
• 极其容易在解三角不等式 $\cos \theta \le \frac{1}{2}$ 时，由于忽略了余弦函数在 $[0,\pi ]$ 上的单调递减特性，误认为 $\theta \le \frac{\pi }{3}$ 从而错选 (A) 项。
• 牢记 $\Delta \ge 0$ 包含“等于 0”的临界状态，区间端点必须为闭区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修第二册”数量积的定义”与一元二次方程根的判定相结合，湖南卷把它做成了一道中档选择题。

结论推广：设 $\left|\vec{a}\right|=k\left|\vec{b}\right|$（$k>0$），判别式 $\Delta =k^2{\left|\vec{b}\right|}^2-4k{\left|\vec{b}\right|}^2\cos \theta \ge 0$，两边约去 $k{\left|\vec{b}\right|}^2$ 得 $\cos \theta \le \frac{k}{4}$。本题 $k=2$，故 $\cos \theta \le \frac{1}{2}$，$\theta \in \left[\frac{\pi }{3},\pi \right]$。

方法推广：$\cos \theta \le \frac{1}{2}$ 在 $\left[0,\pi \right]$ 上对应的是”角不小”，不是”角不大”——余弦在这个区间上递减，这一步反了就会选到 A。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2009-辽宁文-04 单-向量模与夹角
• 2010-四川卷文-06 单-向量模长中线